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=== 数学 ===

## 小数
小数，是實数的一种特殊的表现形式。所有分数都可以表示成小数，小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号。其中整数部分是零的小数称为纯小数，整数部分不是零的小数称为带小数。

對應的英文維基百科頁面為Decimal representation。不過，中文的「小數」與英文的 "Decimal representation" 意思不完全相同，因為 "Decimal representation" 也包含整數，而「小數」通常只指包含小數點的數字。


性质
在小数的末尾添上或去掉任意个零，小数的大小不变。例如：0.4＝0.400，0.060＝0.06。
把小数点分别向右（或向左）移动n位，则小数的值将会扩大（或缩小）基底的n次方倍。（例如對十進位來說就是 
  
    
      
        
          10
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{n}}
  
）


分类


有限小数
小数部分后有有限个数位的小数。如3.1465，0.364，8.3218798456等，有限小数都属于有理数，可以化成分数形式。
一個最簡分數可以被化作十進位的有限小數若且唯若其分母只含有質因數2或5或兩者。類似的，一個最簡分數可以被化作某正整數底数的有限小數若且唯若其分母之質因數為此基底質因數的子集。


无限小数
循环小数
从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现的小数叫做循环小数。如 
  
    
      
        
          
            1
            7
          
        
        =
        0.142
         
        857
         
        142
         
        857
         
        142
         
        857
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142\ 857\ 142\ 857\ 142\ 857\ldots }
  
，
  
    
      
        
          
            11
            6
          
        
        =
        1.833
         
        333
        …
      
    
    {\displaystyle {\frac {11}{6}}=1.833\ 333\ldots }
  
等。循环小数亦属于有理数，可以化成分数形式。
无限不循环小数
小数部分有无限多个数字，且没有依次不断地重复出现的一个数字或几个数字的小数叫做无限不循环小数，如圓周率
  
    
      
        π
        =
        3.141
         
        592
         
        653
         
        589
         
        793
         
        23
        …
      
    
    {\displaystyle \pi =3.141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 23\ldots }
  
，自然對數的底數
  
    
      
        e
        =
        2.718
         
        281
         
        828
         
        459
         
        04
        …
      
    
    {\displaystyle e=2.718\ 281\ 828\ 459\ 04\ldots }
  
。无限不循环小数也就是无理数，不能化成分数形式。


小数与分数的转化
有限小数化分数：化为十分之几（百分之几……）后约分。 
纯循环小数化分数：循环节作为分子，循环节如果有一位，分母为9；循环节有两位，分母为99；循环节有三位，分母为999，依次类推。如 
  
    
      
        0.9999...
        =
        
          
            9
            9
          
    

## 百分比
百分比（英語：percentage）是将比例归一化为“以100为分母的分数表示法”，用于表示部分与整体的关系（占比）或某指标的变动程度。百分比的值是一个无量纲量（纯数）、一个数（number）或一个比（ratio），并非一个计量单位，主要用于表示比例。百分比，在意义上，是将数或比改用“整体量”一律定为100，来表示“部分量”的方法，亦即“以百为分母”的分數計算。
百分比又称百分數、百分率，依语境亦可译为百分法、百分。
百分号（%，percent sign）是一种特殊的数学符号、比例符号或速记符号，用以标示百分比，表示某数是“以100为分母的分数”。% 从运算角度看，是一个后置算子，等同于 
  
    
      
        
          
            1
            100
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{100}}}
  
 或 
  
    
      
        0.01
      
    
    {\displaystyle 0.01}
  
。少数情况下，百分号也使用缩写 pct.、pct 或 pc。
百分之（percent）或“每百”（per centum），则是“以100为分母的分数”其分子数值，其实相当于 %。percent 虽非计数单位，但在日常习惯中，percent 常被不精确地视为一种单位。


概念
百分比的启蒙概念为：值（value）是小于1的分数（fraction），但也推广其概念至值可大于1。例如：30% 按定义是 100 的分数 
  
    
      
        
          
            30
            100
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {30}{100}}}
  
 的意思，即 0.3；而 130% 的意思则是目前量变为原来整体量的 1.3倍，或两同类量相比，大者为小者的 1.3倍。
百分比为無因次量的數字（純數），属于一种分比，所以也是一种以“伪单位”（pseudo-unit）作为“单位”的标记法，用以描述各种无量纲量的小值，实际上就是分数，即按同单位相除来计量的，因此它们是没有相关计量单位的纯数字，并无真正单位，或称其单位为“1”。


语源及称呼
英语 percent 一词源自拉丁语 per centum，per 是「每」、centum 則是「百」的意思。根据其英语发音，百分比在东南亚华人中常称「巴仙」。在台灣，百分比常稱「趴」，此因台灣日治歷史，部份詞彙發音可追溯自日語，百分比在台語中根據日語「パーセント，pāsento」發音（臺羅：pha-siàn-tooh），而華語音似趴線豆、趴線、趴，部分報章雜誌網站亦直接俗寫為「趴」。


歷史
在古羅馬，早在十進位制的存在之前，計算往往在取得1⁄100倍數的分數，這些分數的計算往往類似計算百分比。隨著中世紀幣值大幅度的增長，從15世紀晚期至16世紀早期以百為分母計算變得更正式，這些計算也變成常見的算術文本。許多文本應用了收益與損失、利息以及樹狀規格的作法。在17世紀也正式引用了百分之利率。


計算方法
如果原数值
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
以小数或分数形式表示，则将其乘以100後再加上百分号则成为对应的百分数。例如当原来的数值是
  
    
      
        0.1437
      
    
    {\displaystyle 0.1437}
  
的时候，对应的百分数是：

  
    
      
        0.1437
        ×
        100
        %
        =
        14.37
        %
        ,
      
    
    {\displaystyle 0.1437\times 100\%=14.37\%,}
  

简单一点就是把0.1437 乘以一百然后加%。
又例如当原来的数值是
  
    
      
        
          
            7
            25
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {7}{25}}}
  
的时候，对应的百分数是：

  
    
      
        
         

## 方程
数学中，方程式或等式，是兩個表達式以等号結合這樣的形式。
方程式有兩種情形，一種是恆等式跟數學公式，未知數可以是其定義域內的任意值，等號依然成立；另一種是特定條件方程式，用來求解未知數的值，通常解為特定幾個數值，而不是未知數定義域的所有數值。
數學公式在給定應變數時，自變數的解有特定數值，此時從數學公式變為特定條件方程式。
例如以下是特定條件方程式：

  
    
      
        3
        x
        +
        3
        =
        2
      
    
    {\displaystyle 3x+3=2}
  

其中的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
為未知數。
  
    
      
        3
        x
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 3x+3}
  
以及
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
都是數學表達式，並且以等號
  
    
      
        =
      
    
    {\displaystyle =}
  
連接。
如果把数学当作语言，那么方程可以为人们提供一些用来描述他们所感兴趣的对象的语法，它可以把未知的元素包含到陈述句当中（比如用“相等”这个词来构成的陈述句），因此如果人们对某些未知的元素感兴趣，但是用数学语言去精确地表达那些确定未知元素的条件时需要用到未知元素本身，这时人们就常常用方程来描述那些条件，并且形成这样一个问题：能使这些条件满足的元素是什么？在某个集合内，能使方程中所描述的条件被满足的元素称为方程在这个集合中的解（比如代入某个數到含未知数的等式，使等式中等号左右两边相等）。
求出方程的解或说明方程无解这一过程叫做「方程求解」。可以用方程的解的存在状况为方程分类，例如，恒等式即恒成立的方程，例如
  
    
      
        (
        y
        +
        2
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          y
          
            2
          
        
        +
        4
        y
        +
        4
      
    
    {\displaystyle (y+2)^{2}=y^{2}+4y+4}
  
，在所指定的某个集合（比如复数集）中的全部元素都是它的解；矛盾式即矛盾的方程，如
  
    
      
        x
        +
        1
        =
        x
      
    
    {\displaystyle x+1=x}
  
，在所指定的某个集合（比如复数集）中没有元素满足这个等式。
等式中的等號則是16世紀英國科學教育家羅伯特·雷科德發明。


「方程」一詞的來歷
方程一詞出現在中國早期的數學專著《九章算術》中，其「卷第八」即名「方程」。卷第八（一）爲：

　　今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？
　　　　　　答曰：

　　　　　　上禾一秉，九斗、四分斗之一，

　　　　　　中禾一秉，四斗、四分斗之一，

　　　　　　下禾一秉，二斗、四分斗之三。
　　　　方程術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。余如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。余如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

翻成白話即為：
現在這裡有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍共有39斗；有上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍共有34斗；有上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍共有26斗。問1捆上等黍、1捆中等黍、1捆下等黍各能打出多少斗黍？
其「方程術」用阿拉伯數字表示即為：

  
    
      
        

## 几何
幾何學（英语：Geometry，古希臘語：γεωμετρία）簡稱幾何。几何学是數學的一个基础分支，主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間区域關係以及空间形式的度量。
許多文化中都有幾何學的發展，包括許多有關長度公分公尺、面積平方公尺平方公分及體積立方公尺立方公分的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的欧几里得几何是往後幾個世紀的幾何學標準。阿基米德發展了計算面積及體積的方法123456789652，許多都用到積分的概念。天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置，以及其相對運動的關係，都是後續一千五百年中探討的主題。幾何和天文都列在西方博雅教育中的四術中，是中古世紀西方大學教授的內容之一。
勒內·笛卡兒發明的坐標系以及當時代數的發展讓幾何學進入新的階段，像平面曲線等幾何圖形可以由函數或是方程等解析的方式表示。這對於十七世紀微積分的引入有重要的影響。透视投影的理論讓人們知道，幾何學不只是物體的度量屬性而已，透视投影後來衍生出射影几何。歐拉及高斯開始有關幾何物件本體性質的研究，使幾何的主題繼續擴充，最後產生了拓扑学及微分幾何。
在歐幾里德的時代，實際空間和幾何空間之間沒有明顯的區別，但自從十九世紀發現非歐幾何後，空間的概念有了大幅的調整，也開始出現哪一種幾何空間最符合實際空間的問題。在二十世紀形式數學興起以後，空間（包括點、線、面）已沒有其直觀的概念在內。今日需要區分實體空間、幾何空間（點、線、面仍沒有其直觀的概念在內）以及抽象空間。當代的幾何學考慮流形，空間的概念比歐幾里德中的更加抽象，兩者只在極小尺寸下才彼此近似。這些空間可以加入額外的結構，因此可以考慮其長度。近代的幾何學和物理關係密切，就像偽黎曼流形和廣義相對論的關係一樣。物理理論中最年輕的弦理論也和幾何學有密切關係。
几何学可見的特性讓它比代數、數論等數學領域更容易讓人接觸，不過一些几何語言已經和原來傳統的、欧几里得几何下的定義越差越遠，例如碎形幾何及解析幾何等。
現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高，並與分析、抽象代數和拓撲學緊密結合。
幾何學應用於許多領域，包括藝術，建築，物理和其他數學領域。


簡史
幾何一詞源於《幾何原本》的翻譯。《幾何原本》是世界數學史上影響最為久遠，最大的一部數學教科书。《幾何原本》傳入中國，首先應歸功於明末科學家徐光啟。徐光啟和利瑪竇《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻是確定了研究圖形的這一學科中文名稱為「幾何」，並確定了幾何學中一些基本術語的譯名。「幾何」的原文是「geometria」（英文geometry），徐光啟和利瑪竇在翻譯時，取「geo」的音為「幾何」（明朝音：gi-ho），而「幾何」二字中文原意又有「衡量大小」的意思。用「幾何」譯「geometria」（英文geometry），音義兼顧，確是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天，且東渡到漢字文化圈的日本、朝鮮等國（越南語則使用獨自翻譯的越製漢語「形學（hình học）」一詞），影響深遠。
几何学开始的最早记录可以追踪到公元前2世纪的古代埃及和美索不达米亚。早期的几何学是有关长度、角度、面积和体积的经验性定律的收集，这些都是因为实际需要（比如勘探、建筑、天文和一些手工业）而发展的。最早的已知有关几何学的文本是埃及的莱因德纸草书（公元前2000-1800年）和莫斯科数学纸草书（约公元前1890年），以及古巴比伦的泥石板（比如“普林頓 322”（公元前1900年）)。比如，莫斯科纸草书上给出了如何计算棱台体积的公式。埃及南部的古代努比亚人曾经建立了一套几何学系统，包括有太阳钟的早期版本。
幾何學有悠久的歷史。最古老的歐氏幾何基於一組公設和定義，人們在公設的基礎上運用基本的邏輯推理構做出一系列的命題。可以說，《幾何原本》是公理化系統的第一個範例，對西方數學思想的發展影響深遠。
一千年後，笛卡兒在《方法論》的附錄《幾何》中，將坐標引入幾何，帶來革命性進步。從此幾何問題能以解析式的形式來表達。
歐幾里得幾何學的第五公設，由於並不自明，引起了歷代數學家的關注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何。
幾何學的現代化則歸功於克萊因、希爾伯特等人。克萊因在普呂克的影響下，應用群論的觀點將幾何變換視為特定不變量約束下的變換群。而希爾比特為幾何奠定了真正的科學的公理化基礎。應該指出幾何學的公理化，影響是極其深遠的，它對整個數學的嚴密化具有極其重要的先導作用。它對數理邏輯學家的啟發也是相當深刻的。


古代幾何學
幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數學），古印度（參看古印度數學），和古巴比倫（參

## 三角形
三角形，又稱三邊形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少邊的多边形。
一般用大写英语字母
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
和
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
为三角形的顶点标号；用小写英语字母
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
和
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
表示边；用
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
、
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
  
和
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  
給角標號，又或者以
  
    
      
        ∠
        A
        B
        C
      
    
    {\displaystyle \angle ABC}
  
這樣的顶点标号来表示。


分类


以角度分類


锐角三角形
銳角三角形的所有內角均為銳角。


钝角三角形
鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其余兩角均小於90°。


直角三角形

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」（cathetus），直角所对的边是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）


三角函数

直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。


以邊長分類


不等邊三角形

三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。


等邊三角形

等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 ，则其面積公式為 
  
    
      
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              
                
                  3
                
              
            
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}
  
 。
等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。


三角形的对边
对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。
对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。


等腰三角形

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。
等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
令其底边是 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 ，腰是 
  
  

## 圆
圆 （英語：circler，rounder，circle，round）的第一个定义是：根據歐幾里得的《几何原本》，在同一平面内到定点 
  
    
      
        o
      
    
    {\displaystyle o}
  
 的距离等于定长 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 的点的集合。此定点 
  
    
      
        o
      
    
    {\displaystyle o}
  
 称为圆心（center of a circle），此定长 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
 称为半径（radius）。
圆的第二个定义是：平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆；此圆属于一种阿波罗尼奥斯圆（circles of Apollonius）。


历史

古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。
约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
古代埃及人认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等。


性质


解析几何
直角坐标系中的定义：
  
    
      
        (
        x
        −
        
          x
          
            m
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        −
        
          y
          
            m
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-x_{m})^{2}+(y-y_{m})^{2}=r^{2}}
  
，其中r是半径，
  
    
      
        (
        
          x
          
            m
          
        
        ,
        
          y
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{m},y_{m})}
  
是圆心坐标。
参数方程的定义：
  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            m
          
        
        +
        a
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle x=x_{m}+a\cos \theta }
  
，
  
    
      
        y
        =
        
          y
          
            m
          
        
        +
        a
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle y=y_{m}+a\sin \theta }
  
。
极坐标

## 正方形
在平面几何学中，正方形是四邊相等且四個角是直角的四邊形。正方形是正多边形的一种：正四边形。四个顶点为 
  
    
      
        A
        B
        C
        D
      
    
    {\displaystyle ABCD}
  
 的正方形可以记为正方形 
  
    
      
        A
        B
        C
        D
      
    
    {\displaystyle ABCD}
  
。
正方形是二维的超方形，也是二维的正轴形。


性质
正方形是正四边形，是特殊的矩形、对称四边形、平行四边形。其四个内角为直角。除了四边四角相等的性质，正方形还有以下性质：

所有对边平行；
所有内角为直角（
  
    
      
        
          90
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle 90^{\circ }}
  
）；
對角線相等且互相垂直平分；
一组对角线平分一组对角；
正方形是圆内接四边形。


面积和周长

正方形的周长是它的边长的4倍。如果边长为 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，那么周长
  
    
      
        P
        =
        4
        a
      
    
    {\displaystyle P=4a}
  
。正方形的面积是其边长的平方。如果边长为 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，那么面积
  
    
      
        A
        =
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=a^{2}}
  
。如果我们知道正方形的对角线长 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
，那么我们也可以之计算面积 
  
    
      
        A
        =
        
          
            
              d
              
                2
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}}
  
，如果正方形边心距为 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
，外接圆半径是 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
，那么
  
    
      
        A
        =
        4
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=4r^{2}}
  
。
  
    
      
        A
        =
        2
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=2R^{2}}
  
。
若正方形的邊長為整數，其面積就是一個完全平方数。在周长固定时，正方形的面積一定大於其他非正方形的四邊形的面积。


对称性
正方形是一种高度对称的平面图形，它关于两条对角线的交点中心对称（这个点又被称作正方形的中心）。它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线。保持正方形不变的变换有8种，包括全等变换，以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的旋转，以及关于四条对称轴的反射。这八个变换组成了一个群，是二面体群中的一个，记作D4。


正方形与无理数
公元前五世纪时，毕

## 长方形
在几何中，矩形（rectangle）定义为有一个角是直角的平行四边形，即方形。

从这个定义可以得出矩形两条相对的边等长，也就是说矩形是平行四边形。正方形是四個邊都等長的矩形，它的四个边都是等长的。

对于长方形两对相对的边，我们称横边为长，竖边为宽。长方形的面积是长和宽的乘积；用符号表示就是：A = lw。如图，一个长方形的长是5米，宽是4米，那么面积为20平方米，因为5 × 4 = 20。
在微积分中，黎曼积分可以被看成是无穷多任意小的长方形面积的和的極限。


定义
有一角是直角的平行四边形是矩形。


性质
矩形拥有所有平行四边形的性质，因为它是平行四边形的一種
矩形对角线相等
矩形4个角都是90°


判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
对角线相等的平行四边形是矩形。
对角线相互平分且相等的四边形为矩形。
3个角是直角的四边形是矩形。
同時是圓內接四邊形的平行四邊形是矩形

## 平行四边形
在幾何學中，两组对边分别平行的四边形称为平行四边形（英語：parallelogram）。平行四边形一般用图形名称加依次四个顶点名称来表示，如图平行四边形记为▱ABCD。平行四邊形的兩對角線互相平分「但不一定互相垂直，也不一定相等」。（对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形）

長方形、正方形、菱形都是平行四邊形。


性质
兩组对边平行且分別相等；
两組对角大小相等；
相邻的两个角互补；
对角线互相平分，且將平行四邊形面積分為四等分；
對於平面上任意一點，都存在一條能將任意平行四邊形平分為兩個面積相等圖形、並穿過該點的線；
四邊邊長的平方和等於兩條對角線的平方和。


分类
矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形。


判定
兩組對邊分別相等的平面四邊形是平行四邊形；
兩組對角分別相等的平面四邊形是平行四邊形；
一角分別與兩鄰角互補的四邊形是平行四邊形；
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
對角線相交且互相平分的四邊形是平行四邊形。


面积


公式一：

  
    
      
        S
        =
        B
        H
      
    
    {\displaystyle S=BH}
  
（參照右圖）


公式二：

  
    
      
        S
        =
        B
        C
        sin
        ⁡
        θ
         
      
    
    {\displaystyle S=BC\sin \theta \ }
  
（參照右圖，其中 
  
    
      
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle B,C}
  
 为两条邻边長度，
  
    
      
        C
        =
        
          
            
              A
              
                2
              
            
            +
            
              H
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle C={\sqrt {A^{2}+H^{2}}}}
  
）


公式三：

  
    
      
        S
        =
        
          
            
              tan
              ⁡
              α
            
            2
          
        
        (
        
          B
          
            2
          
        
        −
        
          C
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle S={\frac {\tan \alpha }{2}}(B^{2}-C^{2})}
  
（其中 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  
 為对角线夹角，
  
    
      
        B
        ,
        C
      
    
    {\displaystyle B,C}
  
 为两条邻边長度）


公式四：


参见
平行四邊形恆等式
平行多邊形
伐里農平行四邊形


參考文獻

## 面积
面積（英語：Area）是用作表示一個曲面或平面圖形所佔範圍的量，可看成是長度（一維度量）及體積（三維度量）的二維類比。對三維立體圖形而言，圖形的邊界的面積稱為表面積。
計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。
面積在近代數學中佔相當重要的角色。面積除與幾何學及微積分有關外，亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中，平面的面積通常以勒貝格測度（英語：Lebesgue measure）定義。


面積公式


長方形的面積

最基本的面積公式是長方形的公式。當l是長，w是寬時，其公式為：

  
    
      
        A
        =
        l
        w
      
    
    {\displaystyle A=lw}
  

當其圖形是一個正方形時，
  
    
      
        l
        =
        w
      
    
    {\displaystyle l=w}
  
，因此正方形的公式為：

  
    
      
        A
        =
        
          s
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=s^{2}}
  

長方形的面積計算方法需要證明。


證明

引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比
如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 ——等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同，我們得到

  
    
      
        
          
            
              
                B
                :
                Y
              
              
                
                =
                a
                :
                c
              
            
            
              
              
                
                =
                a
                d
                :
                c
                d
                
                  （ 第 五 卷 命 題 十 五 ）
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}}
  

又

  
    
      
        
          
            
              
                Y
                :
                G
              
              
                
                =
                b
                :
                d
              
            
            
              
              
                
                =
                a
                b
                :
                a
                d
                
                  （ 第 五 卷 命 題 十 五 ）
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligne

## 加法
加法是基本的算术运算之一，与减法、乘法、除法合称「四则运算」。加法运算的本质，就是“一个以上的量的合并”。
除了自然数，其他类型的数也可以定义加法，例如整数、实数、复数等，这些类型的加法是算术的一部分。在代数中，许多抽象的概念也可以相加，例如向量、矩阵等。
将多个一相加的动作被称为计数；一个数加零仍等于自身。当与相关的运算（像是减法、乘法等）同时出现时，加法也遵循一些法则。
加法是最简单的数学任务之一。蹒跚学步的小孩就能将较小的数正确相加；最基本的
  
    
      
        1
        +
        1
        =
        2
      
    
    {\displaystyle 1+1=2}
  
连五个月大的婴儿都会，甚至其他种类的动物也会算。在初等教育中，学生使用十进制或二进制进行加法运算，从个位数的加法开始，逐渐变难。辅助加法的机械从古代的算盘，到现今的电子计算机，种类繁多。至今，人们还在研究在电子计算机上实现加法的高效算法。


定义
为证明加法的常见性质，首先必须给出加法的准确定义。
加法首先在自然数范围内定义。接着，在集合论中，加法被拓展至更加广阔的集合：整数，有理数，实数……


集合的“合并”

加法最基础的诠释，或源于对集合的朴素合并：

当两个及以上互不相交的集合（即不交集）合并为单一集合时，该单一集合中的对象数量等于原集合中对象数量的总和。
该诠释易于直观呈现，且几乎不存在歧义。在高等数学中，它还为更严格的定义奠定基础。然而，如何将该诠释延伸至包含分数或负数的情形则并不显见。一种可行思路是考虑易分割的对象集合，例如派饼；另一种可行思路或为更优的方案——分段式杆件。相较于单纯合并杆件分段，更可采取杆件首尾相接的组合方式，由此接引加法的另一种定义：所叠加的并非杆件本身，而是杆件的长度。


长度的“延伸”

加法的第二种诠释，源于通过给定新长度延伸初始长度：

当初始长度延伸一定量时，最终长度等于初始长度与延伸长度之和。
和式 
  
    
      
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle a+b}
  
 可解释为代数上结合 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 与 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 的二元运算，亦可理解为向 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 增添 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 个单位。在该诠释下，和式 
  
    
      
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle a+b}
  
 的各组成部分具有非对称作用，该运算可视作对 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 施加一元运算 
  
    
      
        +
        b
      
    
    {\displaystyle +b}
  
 。相较于将 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 与 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 均称为加数，将 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 称为「被加数」显然更妥当，因其扮演被动角色。
一元视角在讨论减法时亦具效用，因每个一元加法运算均有对应的逆向一元减法运算，反之亦然。


符号与表示

加号“+”（Unicode：U+002B；ASCII：+）是拉丁词语“et”（和）的缩写，它在数学中的使用至少可以追溯到1489年。
加法通过在各项之间加号“+”表示（中缀表示法的其中一种），运算结果用等号“=”表示。例如：

  
    
      
        
          
            1
          
          +
          
            1
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle {{1}+{1}}=2}
  
（1 加 1 等于 2）

  
    
      
        
          
            2
          
          +
          
            2
          
        
        =
        4
      
    
    {\displaystyle {{2}+{2}}=4}
  
（2 加 2 等于 4）

  
    
      
        
          
            1
          
          +
          
            2
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {{1}+{2}}=3}
  
（1 加 2 等于 3）

  
    
      
        
          
            
              5
            
            +
            
              4
            
          
          +
          
            2
          
        
        =
        11
      
    
    {\displaystyle {{{5}+{4}}+{2}}=11}
  
（见结合律）

  
    
      
        
          
            
              
                3
              
              +
              
                3
              
            
            +
            
              3



## 减法
減法（英语：subtraction、法语：soustraction）是四则运算之一。减法运算的本质，就是「逆着加法去寻找原数」。
例如：
  
    
      
        
          
            5
          
          −
          
            2
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {{5}-{2}}=3}
  
 中，已知 
  
    
      
        5
      
    
    {\displaystyle 5}
  
 是 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
 和 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
 的和，其中一个加数是 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
 ，求另一个加数 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
 。
其中，
  
    
      
        5
      
    
    {\displaystyle 5}
  
 稱為被減數，
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
 稱為減數，
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
 是 
  
    
      
        5
      
    
    {\displaystyle 5}
  
 和 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
  
 的差。
减法遵循几个重要的规律：
减法不像加法那样符合交換律，即改变运算顺序会一同改变结果符号。它也不满足结合律，也就是说，当需要连续减去两个以上的数时，减法的执行顺序会影响结果。由于 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 是加法單位元，减去 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
 不会改变一个数的值。
此外，减法在涉及相关运算（如加法和乘法）时也遵循可预测的规则。所有这些规则皆可从整数减法开始进行证明，并推广至实数、乃至更广泛的数学对象。所有遵循这些规律的通用二元运算在抽象代数中都有研究。


定义


算术定义
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，符号为“ 
  
    
      
        −
      
    
    {\displaystyle -}
  
 ”，结果为差。


集合论定义
在集合论中，减法通过差集定义。给定两个集合 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 和 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 ，它们的差集 
  
    
      
        A
        ∖
        B
      
    
    {\displaystyle A\backslash B}
  
 包含所有属于 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 但不属于 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 的元素。例如：
若 
  
    
      
        A
        =
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        }
      
    
    {\displaystyle A=\{1,2,3\}}
  
，
  
    
      
        B
        =
        {
        2
        ,
        4
        }
      
    
    {\displaystyle B=\{2,4\}}
  
，则 
  
    
      
        A
        ∖
        B
        =
        {
        1
        ,
        3
        }
      
    
    {\displaystyle A\backslash B=\{1,3\}}
  
。
此外，在可计算性理论中，由于减法在自然数上并非良定义，数与数之间的运算实际上是通过“截断减法”或称为monus的运算来定义的。


代数结构中的定义
在更抽象的代数系统中（如群、环、域）：

群​​：若 
  
    
      
        G
      
    
    {\displaystyle G}
  
 是一个群，减法 
  
    
      
        a
        −
        b
      
    
    {\displaystyle a-b}
  
 定义为 
  
    
      
        a
        +
        (
        −
        b
        )
      
    
    {\displaystyle a+(-b)}
  
，其中 
  
    
      
        −
        b
      
    
    {\displaystyle -b}
  
 是 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 的加法逆元。
环与域​​：减法是加法的逆运算，满足封闭性、结合律及分配律的扩展性质。
例如，在整数环 
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
 中，减法确保对任意 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈



## 乘法
乘法是四则运算之一。乘法运算的本质，就是​​“同类累加的简写形式​​”。
例如：

  
    
      
        a
        ×
        b
        =
        
          
            
              
                b
                +
                ⋯
                +
                b
              
              ⏟
            
          
          
            a
            
               个  b
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ 个  b}}}.}
  

  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 都是本式的因数（或称约数），其運算結果稱為積。

  
    
      
        a
        ×
        b
      
    
    {\displaystyle a\times b}
  
可以唸作「a 乘 b」或「a 乘以 b」。唸作「a 乘 b」时 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 是乘数，
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 是被乘数，即“
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
个
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
”。唸作「a 乘以 b」则相反，表示“
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
倍”。这种双意并非中文或者英文特有。乘数和被乘数的交替并不会影响乘法的结果。
乘法运算亦有其它形象理解：对于整数乘法，可表现为将对象排列成矩形陣列；对于实数乘法，则可解释为计算矩形面积。同样地，运算结果不受边长测量顺序的影响。
在乘法基本概念的基础上，序列乘积、向量乘法、复数及矩阵运算等均对其进行了概念扩展。这些更高级的数学结构会以各自方式影响乘法的基本性质——例如矩阵乘法和某些向量乘法会呈现非交换性，复数乘法则会改变复数的符号。


引言
首先，进入正题前，我们不妨来看两个生活中的例子：

买5个单价为3圆的冰激凌：由
  
    
      
        5
        ×
        3
        =
        15
      
    
    {\displaystyle 5\times 3=15}
  
可得，需要支付15圆。
要搭一个3层高、每层4块积木的小塔：由
  
    
      
        3
        ×
        4
        =
        12
      
    
    {\displaystyle 3\times 4=12}
  
可得，需要12块积木。
其次，数学和物理存在许多“累加关系”：

已知匀速直线运动状态下，某物体行进速度为 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
  
 ，所用时间为 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  
 ，可得累计距离 
  
    
      
        d
        =
        v
        ×
        t
      
    
    {\displaystyle d=v\times t}
  
 ；
已知一个物体的密度为 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
  
 （假设密度均匀），体积为 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
 ，可得其质量 
  
    
      
        m
        =
        ρ
        ×
        V
      
    
    {\displaystyle m=\rho \times V}
  
 ；
......
可见，在数学，尤其是在基本算术中，乘法是​​加法的“快捷版”​​。


定义


基本定义
乘法运算，指通过特定法则将两个或多个数结合生成积的运算过程。其核心内涵包括：

同类累加的简写形式：表示将相同值的数进行连续叠加的运算（如 
  
    
      
        3
        ×
        4
        =
        4
        +
        4
        +
        4
        =
        12
      
    
    {\displaystyle 3\times 4=4+4+4=12}
  
 ）
比例关系的量化表达：当乘数非整数时，可表示为原数的分数（小数）倍（如 
  
    
      
        3
        ×
        0.5
      
    
    {\displaystyle 3\times 0.5}
  
 表示 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
 的一半，
  
    
      
        4
        ×
        
          
            
              1
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 4\times {\dfrac {1}{3}}}
  
 表示 
  


## 除法
除法（英语、法语：division）是四则运算之一。除法运算的本质，就是「重复減法的简化表达」。
例如：
  
    
      
        
          
            6
          
          ÷
          
            3
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle {{6}\div {3}}=2}
  
，就好像
  
    
      
        
          
            
              6
            
            −
            
              3
            
          
          −
          
            3
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0}
  
，

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  6
                  −
                  3
                  =
                  3
                
              
              
                
                  3
                  −
                  3
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}}
  
，
  
    
      
        6
      
    
    {\displaystyle 6}
  
被
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
減了兩次後，就變成了
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
。
如果

  
    
      
        a
        ×
        b
        =
        c
      
    
    {\displaystyle a\times b=c}
  

而且
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
不等于零，那么

  
    
      
        a
        =
        c
        ÷
        b
      
    
    {\displaystyle a=c\div b}
  

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。
如果除式的商數（
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
）必須是整數，则称为带餘除法，
  
    
      
        a
        ×
        b
      
    
    {\displaystyle a\times b}
  
与
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
相差的数值，称为餘數（
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
）。

  
    
      
        c
        ÷
        b
        =
        a
        …
        d
      
    
    {\displaystyle c\div b=a\dots d}
  

這也意味著

  
    
      
        c
        =
        a
        ×
        b
        +
        d
      
    
    {\displaystyle c=a\times b+d}
  

在高等数学、科学、工程学和计算机编程语言中，
  
    
      
        c
        ÷
        b
      
    
    {\displaystyle c\div b}
  
写成
  
    
      
        c
        
          /
        
        b
      
    
    {\displaystyle c/b}
  
。如果我们毋需知晓确切值，或者留待以后引用，这种形式也常称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為
  
    
      
        div
      
    
    {\displaystyle \operatorname {div} }
  
，尋找餘數（即模除）的函數則為
  
    
      
        mod
      
    
    {\displaystyle \operatorname {mod} }
  
。
在代数结构范畴中，除法运算存在两种基本形式，对应不同的数学结构定义：

带余除法（欧几里得除法）​​：若代数结构中定义了带余除法（即存在商和余数，且余数的范数严格小于除数的范数），则该结构称为歐幾里得整環。例如，一元多项式环（系数取自域）在其多项式次数构成的范数下构成欧几里得整环。
无余除法​​：若代数结构中所有非零元素均可逆（即对任意非零元素 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，存在 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 使得 
  
    
      
        a
        b
        =
        b
        a
        =
    


## 四则运算
四则运算，即加减乘除，是數學最基本的算術运算。如果加減乘除放在同一個算式列中的話，其計算的順序是「先乘除，後加減」，括號内先算。四則運算的起源很早，幾乎在數學產生時就有了。


四則運算規則
依中序遍歷由左而右計算。例：

  
    
      
        30
        +
        6
        +
        11
        =
        36
        +
        11
        =
        47
      
    
    {\displaystyle 30+6+11=36+11=47}
  

  
    
      
        30
        ÷
        5
        ×
        2
        =
        6
        ×
        2
        =
        12
      
    
    {\displaystyle 30\div 5\times 2=6\times 2=12}
  

先算× ÷，後算 + −（先乘除后加减）。例：

  
    
      
        5
        −
        5
        ÷
        5
        =
        5
        −
        1
        =
        4
      
    
    {\displaystyle 5-5\div 5=5-1=4}
  

  
    
      
        6
        ×
        6
        +
        25
        ÷
        5
        =
        36
        +
        5
        =
        41
      
    
    {\displaystyle 6\times 6+25\div 5=36+5=41}
  

有括号的，先算括號内的，再算括號外的；有多重括号的，先算小括號
  
    
      
        (
         
        )
      
    
    {\displaystyle (\ )}
  
，再算中括號
  
    
      
        [
         
        ]
      
    
    {\displaystyle [\ ]}
  
，最後算大括號
  
    
      
        {
         
        }
      
    
    {\displaystyle \{\ \}}
  
。如：

  
    
      
        (
        5
        −
        5
        )
        ÷
        5
        =
        0
        ÷
        5
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (5-5)\div 5=0\div 5=0}
  

  
    
      
        
          
            
              
              
                5
              
              
                ×
              
              
                {
              
              
                9
              
              
                +
              
              
                2
              
              
                ×
              
              
                [
              
              
                3
              
              
                ×
              
              
                (
                1
                +
                2
                )
              
              
                ]
              
              
                }
              
            
            
              
                =
              
              
                5
              
              
                ×
              
              
                {
              
              
                9
              
              
                +
              
              
                2
              
              
                ×
              
              
                [
              
              
                3
              
              
                ×
              
              
                3
              
              
                ]
              
              
                }
              
            
            
              
                =
              
              
                5
              
        


## 分数
分數（英語：fraction）是用分式（分數式）表達成
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
  
的数（
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        Z
        ,
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a,b\in Z,b\neq 0}
  
）。在上式之中，
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
稱為分母（denominator）而
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
稱為分子（numerator），可視為某件事物平均分成
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
份中佔
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
份，讀作「
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
分之
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用
  
    
      
        a
        
          /
        
        b
      
    
    {\displaystyle a/b}
  
來表示分數。


用法
分數有各種不同的用法與意義：

兩個整數的比例：
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        ≡
        a
        :
        b
         
        (
        a
        ,
        b
        ∈
        
          Z
        
        ,
        a
        ,
        b
        ≠
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)}
  
，這是兩個數量的比較關係。
有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
整數除法：
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        ≡
        a
        ÷
        b
         
        (
        a
        ,
        b
        ∈
        
          Z
        
        ,
        b
        ≠
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)}
  
，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。
等分：
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數（unit fraction），參見古埃及分數。
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}}
  
也就是
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
這個整數的倒數。
這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。


分類
最簡分數（既约分数）（irreducible fraction）
分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如：
  
    
      
        
          
            4
            
               
              

              
              15
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {4}{~{}15~{}}}}
  

真分數（proper fraction）
除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：
  
    
      
        
          
            3
            
               
              

              
              7
               
              

              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{~{}7~{}}}}
  

假分數（top-heavy/improper fraction）
假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如：
  
    
      
        
          
            5
            
       


## 比例
在数学上，要定义“比例”，必须先定义“比”。比（ratio）是兩個非零數量 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 與 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 之間的比較關係，記為 
  
    
      
        y
        :
        x
        
        (
        x
        ,
        y
        ∈
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle y:x\;(x,y\in \mathbb {R} )}
  
，在計算時則常写作：
  
    
      
        
          
            y
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {y}{x}}}
  
 或 
  
    
      
        y
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y/x}
  
。
比例（proportion）或比例式、等比式，是“两个比”相等的式子；表示同类型（相同单位）的“两个比之间”的关系。因此，比值相等的两个比才能组成比例，且比例必须以等式的形式呈现。例如：
  
    
      
        
          
            y
            x
          
        
        =
        
          
            b
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}}
  
 或 
  
    
      
        y
        :
        x
        =
        b
        :
        a
      
    
    {\displaystyle y:x=b:a}
  
 才能称作比例，而 
  
    
      
        
          
            y
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {y}{x}}}
  
 或 
  
    
      
        y
        :
        x
      
    
    {\displaystyle y:x}
  
 只能称作比。
比值（ratio value，ratio）强调比的数值，是由比的关係所导引出的前项除以后项的数值（即“商”）；在某些语境下，比值也称占比（proportion，share）、比例、比率。比值按字面的原义，是两者的倍数关系，进而引申为一個数或变量除以另一個数或变量的商值。由于比的数学的定义是数或同类量相除，所以所得之商——比值——无单位。
组成比例的四个数，称为比例的项；等式最两端的两项称为外项，等式中央的两项称为内项。与比不同的是：比由两个数组成；比例由四个数组成。
若两个變量的关系符合：其中一个量等于另一个量乘以一个常数 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
（
  
    
      
        y
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle y=kx}
  
，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 稱為 比例常数 或 比例係數），或等价地表达为：两變數的比值為一個定值（此定值或商，稱為 比（ratio），但比的定义不限于定值），则称两者是“成比例的”，或称两者“成正比”。
若几对变量共享相同的直接比例常数，则表示这些比值相等的方程称为比例式（proportion）或等比关系。例如：b/a = y/x = ⋯ = k 。比例性（proportionality）则与线性关系（linearity）密切相关。


定义
若存在一常数 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
，使：
  
    
      
        y
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle y=kx}
  
，（
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 是因变量，
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 是自变量，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 是常数，且 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  

  
    
      
        ≠
      
    
    {\displaystyle \neq }
  

  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
），
则称变量 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 与变量 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 成比例（有时也称为“成正比”）。当 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 和 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 成正比关系时，当
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 变为原來 
  
    
      
        k
    


## 一元一次方程
一次方程式也被稱為线性方程，因為在笛卡尔坐标系上任何一個一次方程的圖形都是一條直线。组成一次方程的每一项必須是常数或者是一个常數和一个变量的乘積。且方程中必須包含一个變量，因為如果没有變量只有常數，式子則是代数式而非方程式。
如果一次方程式中只包含一个文字符號，且最高次方為一，那么该方程就是一元一次方程式； 如果包含两个文字符號，且最高次方為一，那么就是二元一次方程式；以此類推。


一元一次方程
一元一次方程是指一个方程中仅含有一个变量（亦即未知数），且等号两边至少有一个一次单项式，且未知数的指数为
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
。
任意一个一元一次方程皆能化成
  
    
      
        a
        x
        +
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax+b=0}
  
（
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  
）的形式，它的解为
  
    
      
        x
        =
        −
        
          
            b
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}
  
。以下是一个例子：

  
    
      
        3
        x
        −
        17
        =
        −
        17
        x
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 3x-17=-17x+3}
  

它的解法是

  
    
      
        20
        x
        =
        20
      
    
    {\displaystyle 20x=20}
  
（移项后合并同类项）

  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
  
（两边同除以
  
    
      
        20
      
    
    {\displaystyle 20}
  
）
一元一次方程是一个线性方程，二次项
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  
 或二次以上的项是不容许出现的。
公式

  
    
      
        
          
            
              x
              −
              a
            
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x-a}{b}}}
  

注意：当 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  
 时，

  
    
      
        a
        x
        +
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax+b=0}
  
 不是一元一次方程。

  
    
      
        0
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 0x=0}
  
可以推出
  
    
      
        0
        +
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 0+b=0}
  
。
如果 
  
    
      
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  
，此方程式无解；如果 
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b=0}
  
，则此方程式有无限多解。


二元一次方程组
求解二元一次方程组可以使用代入消元法或加减消元法。


代入消元法
代入消元法就是先利用其中一个方程，将含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数。然后代入另一个方程，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程的方法。
例如：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  2
                  x
                  −
                  1
                  =
                  9
                
              
              
                
                  x
                  +
                  y
                  =
                  36
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}2x-1=9\\x+y=36\end{cases}}}
  

解：

  
    
      
        2
        x
        −
        1
        =
        9
      
    
    {\displaystyle 2x-1=9}
  

得

  
    
      
        x
        =
        5
      
    
   


## 二元一次方程
一次方程式也被稱為线性方程，因為在笛卡尔坐标系上任何一個一次方程的圖形都是一條直线。组成一次方程的每一项必須是常数或者是一个常數和一个变量的乘積。且方程中必須包含一个變量，因為如果没有變量只有常數，式子則是代数式而非方程式。
如果一次方程式中只包含一个文字符號，且最高次方為一，那么该方程就是一元一次方程式； 如果包含两个文字符號，且最高次方為一，那么就是二元一次方程式；以此類推。


一元一次方程
一元一次方程是指一个方程中仅含有一个变量（亦即未知数），且等号两边至少有一个一次单项式，且未知数的指数为
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
。
任意一个一元一次方程皆能化成
  
    
      
        a
        x
        +
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax+b=0}
  
（
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  
）的形式，它的解为
  
    
      
        x
        =
        −
        
          
            b
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}
  
。以下是一个例子：

  
    
      
        3
        x
        −
        17
        =
        −
        17
        x
        +
        3
      
    
    {\displaystyle 3x-17=-17x+3}
  

它的解法是

  
    
      
        20
        x
        =
        20
      
    
    {\displaystyle 20x=20}
  
（移项后合并同类项）

  
    
      
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x=1}
  
（两边同除以
  
    
      
        20
      
    
    {\displaystyle 20}
  
）
一元一次方程是一个线性方程，二次项
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  
 或二次以上的项是不容许出现的。
公式

  
    
      
        
          
            
              x
              −
              a
            
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x-a}{b}}}
  

注意：当 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  
 时，

  
    
      
        a
        x
        +
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax+b=0}
  
 不是一元一次方程。

  
    
      
        0
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 0x=0}
  
可以推出
  
    
      
        0
        +
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 0+b=0}
  
。
如果 
  
    
      
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  
，此方程式无解；如果 
  
    
      
        b
        =
        0
      
    
    {\displaystyle b=0}
  
，则此方程式有无限多解。


二元一次方程组
求解二元一次方程组可以使用代入消元法或加减消元法。


代入消元法
代入消元法就是先利用其中一个方程，将含有其中一个未知数的代数式表示另一个未知数。然后代入另一个方程，从而将这组方程转化成解两个一元一次方程的方法。
例如：

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  2
                  x
                  −
                  1
                  =
                  9
                
              
              
                
                  x
                  +
                  y
                  =
                  36
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}2x-1=9\\x+y=36\end{cases}}}
  

解：

  
    
      
        2
        x
        −
        1
        =
        9
      
    
    {\displaystyle 2x-1=9}
  

得

  
    
      
        x
        =
        5
      
    
   


## 一元二次方程
一元二次方程式是只含有一个未知數，并且未知數的最高次數是二次的多項式方程。
例如，
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        3
        x
        +
        2
        =
        2
      
    
    {\displaystyle x^{2}-3x+2=2}
  
，
  
    
      
        
          (
          
            3
            −
            2
            i
          
          )
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              23
              −
              6
              i
            
            
              π
            
          
        
        x
        −
        sin
        ⁡
        2
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0}
  
，
  
    
      
        
          t
          
            2
          
        
        −
        3
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t^{2}-3=0}
  
 等都是一元二次方程。
一元二次方程式的一般形式是
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
        
          (
          
            a
            ≠
            0
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)}
  

其中，
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}}
  
是二次项，
  
    
      
        b
        x
      
    
    {\displaystyle bx}
  
是一次项，
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
是常数项。
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  
是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后，
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  
也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。


历史
古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。
11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。
将其转化为数学语言：解关于
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的方程 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        =
        −
        c
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx=-c}
  

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即
  
    
      
        4
        a
      
    
    {\displaystyle 4a}
  
，得　
  
    
      
        4
        
          a
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        4
        a
        b
        x
        =
        −
        4
        a
        c
      
    
    {\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac}
  

在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即
  
    
      
 


## 不等式
不等式是數學名詞，是指表示二個量之間不等的敘述。一般用两個表示式表示要探討的量，中間再加上不等關係的符號，表示兩者的關係。以下是一些不等式的例子：

  
    
      
        a
        <
        b
        ,
        
      
    
    {\displaystyle a<b,\,}
  

  
    
      
        x
        +
        y
        +
        z
        ≤
        1
        ,
        
      
    
    {\displaystyle x+y+z\leq 1,\,}
  

  
    
      
        n
        >
        1
        ,
        
      
    
    {\displaystyle n>1,\,}
  

  
    
      
        x
        ≠
        0.
        
      
    
    {\displaystyle x\neq 0.\,}
  

有些作者認為不等式只能用來表示中間有出現不等號≠的關係式。


連鎖的不等式
若幾個不等式中間有共用的變數，而且幾個不等式有逻辑与的關係，有時會直接將不等式寫在一起來簡化。例如不等式

  
    
      
        0
        ≤
        a
        <
        b
        ≤
        1
        
      
    
    {\displaystyle 0\leq a<b\leq 1\,}
  

是以下不等式的縮寫

  
    
      
        0
        ≤
        a
         
        
          a
          n
          d
        
         
        a
        <
        b
         
        
          a
          n
          d
        
         
        b
        ≤
        1.
        
      
    
    {\displaystyle 0\leq a~\mathrm {and} ~a<b~\mathrm {and} ~b\leq 1.\,}
  


不等式的求解

含有未知數的不等式也可以求解。不等式求解和方程求解類似，是要找到使特定不等式（或是聯立不等式）成立的變數值。這些不等式中會包括稱為未知數的變數，求解不等式就是要找到使不等式滿足的未知數。更準確的說，要找的不一定是實際的值，而是較一般性的表示式。不等式的解是一組可以滿足不等式的表示式，也就是說，若將這些表示式代入未知數中，即可滿足不等式。
不等式求解時，常會加入一個額外的目標變數，要設法找到目標變數的最大值或最小值，此一問題就變成最佳化問題，要找到使目標變數最大或最小的最佳解，而不等式則是其約束條件。
例如

  
    
      
        0
        ≤
        
          x
          
            1
          
        
        ≤
        690
        −
        1.5
        ⋅
        
          x
          
            2
          
        
        
        ∧
        
        0
        ≤
        
          x
          
            2
          
        
        ≤
        530
        −
        
          x
          
            1
          
        
        
        ∧
        
        
          x
          
            1
          
        
        ≤
        640
        −
        0.75
        ⋅
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 0\leq x_{1}\leq 690-1.5\cdot x_{2}\;\land \;0\leq x_{2}\leq 530-x_{1}\;\land \;x_{1}\leq 640-0.75\cdot x_{2}}
  

是一組不等式的組合，寫成連鎖不等式（其中
  
    
      
        ∧
      
    
    {\displaystyle \land }
  
可以當成and），其解的集合在附圖中的藍色區域（紅線、綠線和橘線分別對應第一個條件、第二個條件及第三個條件。）。上述問題的約束條件都是線性的，若目標函數也是線性，即屬於线性规划的範圍。
线性规划的最佳解可以用单纯形法求解。Prolog III 程式語言也有提供解特定不等式的演算法，是其語言的特徵之一，細節可以參考約束邏輯程式設計。


不等式中的其他意義
因為一些函數（例如根號）的特性，有些不等式會等於一個聯立不等式。例如不等式
  
    
      
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
          
          <
          g
          (
          x
          )
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle {\sqrt {f(x)}}<g(x)}
  
和以下的聯立不等式相同：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle f(x)\geq 0}
  

  
    
      
        g
        (
        x
        )
        >
        0
    


## 几何学
幾何學（英语：Geometry，古希臘語：γεωμετρία）簡稱幾何。几何学是數學的一个基础分支，主要研究形狀、大小、圖形的相對位置等空間区域關係以及空间形式的度量。
許多文化中都有幾何學的發展，包括許多有關長度公分公尺、面積平方公尺平方公分及體積立方公尺立方公分的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的欧几里得几何是往後幾個世紀的幾何學標準。阿基米德發展了計算面積及體積的方法123456789652，許多都用到積分的概念。天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置，以及其相對運動的關係，都是後續一千五百年中探討的主題。幾何和天文都列在西方博雅教育中的四術中，是中古世紀西方大學教授的內容之一。
勒內·笛卡兒發明的坐標系以及當時代數的發展讓幾何學進入新的階段，像平面曲線等幾何圖形可以由函數或是方程等解析的方式表示。這對於十七世紀微積分的引入有重要的影響。透视投影的理論讓人們知道，幾何學不只是物體的度量屬性而已，透视投影後來衍生出射影几何。歐拉及高斯開始有關幾何物件本體性質的研究，使幾何的主題繼續擴充，最後產生了拓扑学及微分幾何。
在歐幾里德的時代，實際空間和幾何空間之間沒有明顯的區別，但自從十九世紀發現非歐幾何後，空間的概念有了大幅的調整，也開始出現哪一種幾何空間最符合實際空間的問題。在二十世紀形式數學興起以後，空間（包括點、線、面）已沒有其直觀的概念在內。今日需要區分實體空間、幾何空間（點、線、面仍沒有其直觀的概念在內）以及抽象空間。當代的幾何學考慮流形，空間的概念比歐幾里德中的更加抽象，兩者只在極小尺寸下才彼此近似。這些空間可以加入額外的結構，因此可以考慮其長度。近代的幾何學和物理關係密切，就像偽黎曼流形和廣義相對論的關係一樣。物理理論中最年輕的弦理論也和幾何學有密切關係。
几何学可見的特性讓它比代數、數論等數學領域更容易讓人接觸，不過一些几何語言已經和原來傳統的、欧几里得几何下的定義越差越遠，例如碎形幾何及解析幾何等。
現代概念上的幾何其抽象程度和一般化程度大幅提高，並與分析、抽象代數和拓撲學緊密結合。
幾何學應用於許多領域，包括藝術，建築，物理和其他數學領域。


簡史
幾何一詞源於《幾何原本》的翻譯。《幾何原本》是世界數學史上影響最為久遠，最大的一部數學教科书。《幾何原本》傳入中國，首先應歸功於明末科學家徐光啟。徐光啟和利瑪竇《幾何原本》中譯本的一個偉大貢獻是確定了研究圖形的這一學科中文名稱為「幾何」，並確定了幾何學中一些基本術語的譯名。「幾何」的原文是「geometria」（英文geometry），徐光啟和利瑪竇在翻譯時，取「geo」的音為「幾何」（明朝音：gi-ho），而「幾何」二字中文原意又有「衡量大小」的意思。用「幾何」譯「geometria」（英文geometry），音義兼顧，確是神來之筆。幾何學中最基本的一些術語，如點、線、直線、平行線、角、三角形和四邊形等中文譯名，都是這個譯本定下來的。這些譯名一直流傳到今天，且東渡到漢字文化圈的日本、朝鮮等國（越南語則使用獨自翻譯的越製漢語「形學（hình học）」一詞），影響深遠。
几何学开始的最早记录可以追踪到公元前2世纪的古代埃及和美索不达米亚。早期的几何学是有关长度、角度、面积和体积的经验性定律的收集，这些都是因为实际需要（比如勘探、建筑、天文和一些手工业）而发展的。最早的已知有关几何学的文本是埃及的莱因德纸草书（公元前2000-1800年）和莫斯科数学纸草书（约公元前1890年），以及古巴比伦的泥石板（比如“普林頓 322”（公元前1900年）)。比如，莫斯科纸草书上给出了如何计算棱台体积的公式。埃及南部的古代努比亚人曾经建立了一套几何学系统，包括有太阳钟的早期版本。
幾何學有悠久的歷史。最古老的歐氏幾何基於一組公設和定義，人們在公設的基礎上運用基本的邏輯推理構做出一系列的命題。可以說，《幾何原本》是公理化系統的第一個範例，對西方數學思想的發展影響深遠。
一千年後，笛卡兒在《方法論》的附錄《幾何》中，將坐標引入幾何，帶來革命性進步。從此幾何問題能以解析式的形式來表達。
歐幾里得幾何學的第五公設，由於並不自明，引起了歷代數學家的關注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何。
幾何學的現代化則歸功於克萊因、希爾伯特等人。克萊因在普呂克的影響下，應用群論的觀點將幾何變換視為特定不變量約束下的變換群。而希爾比特為幾何奠定了真正的科學的公理化基礎。應該指出幾何學的公理化，影響是極其深遠的，它對整個數學的嚴密化具有極其重要的先導作用。它對數理邏輯學家的啟發也是相當深刻的。


古代幾何學
幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數學），古印度（參看古印度數學），和古巴比倫（參看古巴比倫數學），其年代大約始於前3000年。早期的幾何學是關於長度，角度，面積和體積的經驗原理，被用於滿足在測繪，建築，天文，和各種工藝製作中的實際需要。在它們中間，有令人驚訝的複雜的原理，以至於現代的數學家很難不用微積分來推導它們。例如，埃及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐台（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個三角函數表。


名稱的由来
幾何這個詞最早來自於希臘語「γεωμετρία」，由「γέα」（土地）和「μετρεĭν」（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。後來拉丁語化為「geometria」。中文中的「幾何」一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。當時並未給出所依根據，後世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意並譯。用「幾何」的音來表達，關於數與量的，用「幾何」的義來表達。換句話說，徐光啟心目中的「幾何」，可能就是今天我們所謂的「數學」。所以他為譯本所取的名字，以今日用語再翻譯一次，就是：《基礎數學》。所以如果了解《幾何原本》為《基礎數學》，它當然會包含像輾轉相除法這樣的課題。希臘語GEO+METRY按照字源意思是「地理測算」的意思，所以依照字面意思對照現代分類相當於測算學，分平面測算學與立體測算學。
1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在著另一種譯名——「形學」，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》後9卷出版後，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候才有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勳就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有「形學」一詞的使用出現。


分類


實務幾何學

幾何學起源於一些實務上有關量測、面積及體積的科學。在許多方面都已找到相當的公式，例如畢氏定理、圓的周長及面積、三角形的面積、圓柱、球及四角錐的體積等。泰勒斯發展了以幾何物件的相似為基礎，計算一些無法直接量測的高度或距離的方法。天文學的


## 梯形
在幾何學中，梯形（美式英语：trapezoid，英式英语：trapezium）是有一组对边平行，一組對邊不平行的凸四邊形。梯形平行的兩條邊为底边，分別稱為上底和下底，其间的距離為高，另外两条边为腰；下底与腰的夹角为底角，上底与腰的夹角为顶角。


性质


中位线
由梯形两腰的中点连成的线段称为梯形的中位线。梯形的中位线与上底和下底都平行，长度为上底与下底的长度之和的一半，即：
  
    
      
        m
        =
        
          
            
              (
              
                a
                +
                b
              
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m={\frac {\left(a+b\right)}{2}}}
  


高
若
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
為梯形的底邊，
  
    
      
        c
        ,
        d
      
    
    {\displaystyle c,d}
  
為梯形的兩腰，其中
  
    
      
        a
        ≠
        b
      
    
    {\displaystyle a\neq b}
  
，則两个底之间的距离称为高，其长度为：

  
    
      
        h
        =
        
          
            
              −
              (
              a
              −
              b
              +
              c
              +
              d
              )
              (
              a
              −
              b
              +
              c
              −
              d
              )
              (
              a
              −
              b
              −
              c
              +
              d
              )
              (
              a
              −
              b
              −
              c
              −
              d
              )
            
            
              2
              
                |
                
                  a
                  −
                  b
                
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h={\frac {\sqrt {-(a-b+c+d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)(a-b-c-d)}}{2\left|a-b\right|}}}
  


面積
梯形的面積
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
满足： 

  
    
      
        S
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        a
        +
        b
        )
        h
      
    
    {\displaystyle S={\frac {1}{2}}(a+b)h}
  

其中，
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
是梯形的高，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
分别为其上底和下底。
事实上，由于中位线
  
    
      
        m
        =
        
          
            
              a
              +
              b
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}
  
因此梯形面積
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
亦满足：

  
    
      
        S
        =
        m
        h
      
    
    {\displaystyle S=mh}
  

其中 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
  
 为中位线的长度。
以上两个公式均适用于任何梯形，也包括平行四边形。


边与角的关系
上下底边平行，因此上下邻角互为补角，度数和为180度。
对角线分割另一条对角线的比相同。


分类

梯形通常可根据角的关系分为锐角梯形、直角梯形、钝角梯形三类。


锐角梯形
锐角梯形（acute trapezoid）是指底边都是个锐角的梯形，等腰梯形是特殊的锐角梯形


直角梯形

一个底角为90°的梯形是直角梯形（right trapezoid）。由于梯形的二


## 多边形
多邊形，是平面上封閉的幾何圖形，或者说是由2条以上在同一平面的線段首尾相连組成的形状。


術語
頂点
指多邊形中任何兩邊相交所形成的交點或錐體的尖頂。

边
内角
頂點相鄰的兩邊所組成的角度。n邊形的內角和為
  
    
      
        (
        n
        −
        2
        )
        ×
        
          180
          
            ∘
          
        
      
    
    {\displaystyle (n-2)\times 180^{\circ }}
  

外角
對於某內角來說，其相應的外角角度為180°减去內角角度，多邊形的所有外角之和恆等於360°。
對角線
以不毗連頂點為端點的線段


分類


簡單多邊形
簡單多邊形是邊不相交的多邊形，又稱佐敦多邊形，因為佐敦曲線定理可以用來證明這樣的多邊形能將平面分成兩個區域，即區內和區外。
在拓扑学上，簡單多邊形和圆盘同胚。
在計算幾何學有幾個重要問題，其輸入都是簡單多邊形：

點在多邊形內：決定一點是否在多邊形內
求多邊形面積
將多邊型切割成三角形
按凸性区分，簡單多邊形分凸多邊形和凹多邊形，「凸」的表示它的內角都不大於180°，凹反之。
其他的特殊多边形还有：

圆内接多边形：顶点都在同一个圆上的多边形。
圆外切多边形：边都跟同一個圆相切的多边形。
等边多边形：各边之长都相等的多边形。
等角多边形：各内角都相等的多边形。


正多邊形

正多邊形是各邊都等長，各内角都相等的多邊形，可分为两种：凸正多边形与凹正多边形。谈及“正多邊形”时一般指前者，后者一般称作正多角星。对于指定的边数，它们都是唯一的，比如正五边形与正五角星。在邊數相同、周長相等的多邊形中，凸正多边形面積最大（参见等周问题 ）。
当且仅当边数是2的冪乘費馬質數時，正多邊形可以用尺規作出（參見可作圖多邊形）。

面積：
  
    
      
        A
         
        =
         
        
          
            n
            2
          
        
        
        a
        
        
          r
          
            i
          
        
         
        =
         
        
          
            n
            2
          
        
        
        
          r
          
            u
          
          
            2
          
        
        
        sin
        ⁡
        
          
            
              2
              π
            
            n
          
        
         
        =
         
        
          
            1
            4
          
        
        n
        
          a
          
            2
          
        
        cot
        ⁡
        
          
            
              180
              
                ∘
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle A\ =\ {\frac {n}{2}}\,a\,r_{i}\ =\ {\frac {n}{2}}\,r_{u}^{2}\,\sin {\frac {2\pi }{n}}\ =\ {\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}}
  

內切圓半徑：
  
    
      
        
          
            a
            2
          
        
        cot
        ⁡
        
          
            
              180
              
                ∘
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{2}}\cot {\frac {180^{\circ }}{n}}}
  

外接圓半徑：
  
    
      
        
          
            a
            
              2
              sin
              ⁡
              
                
                  
                    180
                    
                      ∘
                    
                  
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{2\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}}
  


公式


面积
对用
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            1
          
        
        )
        ,
        (
        
          x
          
            2
          
     


## 长方体
在幾何學中，長方體（Rectangular cuboid）是一種由六個矩形組成、且每條稜對應的二面角都是直角的凸多面體，是四角柱的一種，也是一種現代建築常見的形狀。長方體和矩形柱（底面為矩形的棱柱），其對應的多面体图與立方體對應的多面體圖相同，但習慣上仍然會以長方體稱之。在部分初等教育的教材中會將立方體視為長方體的一個特例。
英文單詞cuboid一般翻作長方體，然而其也可以指四邊形六面體，與長方體並不完全相同，而長方體是一種cuboid。


性質
長方體是一種六面體，由6個矩形組成，共有6個面、12條邊和8個頂點。每條相鄰的邊皆互相垂直、每個相鄰的面也互相垂直。長方體被平面所截後，截面的形狀有可能是三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形、菱形、鷂形、五邊形和六邊形。


組成
長方體與立方體拓樸結構相同，皆具有6個面、12條邊和8個頂點，其中每條邊都是兩個矩形的公共邊，對應的稜之二面角為直角。8個頂點中，每個頂點都是3個矩形的公共頂點，對應的角為三面角。在長方體的6個矩形面中，一般可以分為3組兩兩全等的矩形。


體積與表面積
長方體各邊的邊長通常可以分為長、寬及高，若已知長方體的長、寬及高則其體積與表面積為：

體積：高×長×寬
表面積：2 ×（高×長＋長×寬＋寬×高）


展開圖
邊長全部等長的長方體，即立方體，其共有11種展開圖，而有2種邊長的長方體（或稱正四角柱）其展開圖有27種，而若長方體是有3種邊長的長方體，則展開圖的數量有54種。


種類
長方體大致可以分為三種，一種是有三組等長邊的長方體、另一種是有三組等長邊的長方體，通常可以稱為正四角柱，最後一種是長方體的特例，即所有邊等長的長方體，稱為立方體或正方體。


用途
長方體常見於日常生活中，如包裝盒、搬運用紙箱或貨櫃、一些家具的形狀（如桌子、櫃子、床等）、現代建築物的形狀等。而在產品包裝方面，由於長方體是一種可以獨立填滿空間的形狀，因此許多產品（如飲料包裝）會選擇使用長方體的方式進行包裝。


相關多面體
在字典中，經常會將長方體的英文翻譯成Cuboid，Cuboid確實有時會指長方體，但是兩者還是有區別的，Cuboid也泛指所有由6個四邊形以類似立方體的互相連接方式組成的立體，即四邊形六面體（quadrilateral hexahedron），此時面不再限於矩形，其對應的多面体图與立方體和長方體對應的多面體圖相同。但此定義在中文語境中就不存在——中文語境的長方體僅指所有角都是直角的六面體。而Cuboid所泛指的由6個四邊形以類似立方體的互相連接方式組成的立體則與長方體有著相同的拓樸結構，這些立體包括了立方體、長方體、三方偏方面體、四角錐台、平行六面体和菱形六面體等形狀。


參見
四角柱


参考文献


## 圆柱
数学上，圆柱（cylinder，cylindrical column）或圆柱体，古稱圓堡壔、圓囷[1]，是以一个圆为底面，上或下移动一定的距离，所经过的空间叫做圆柱体，包括直圆柱、斜圆柱。广义的圆柱，也包括椭圆柱（elliptic cylinder）。
圆柱是一个二次曲面，也就是说，一个三维曲面，满足以下直角坐标系中的方程：

  
    
      
        
          
            (
            
              
                x
                a
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                y
                b
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}
  

这个方程是用于椭圆柱的，是对于普通圆柱（a=b）的一个推广。更一般的是柱体（column）——横截面可以是任何曲线。
圆柱是一个退化二次曲面，因为至少有一个坐标（这里就是z）不出现在方程中。在有些定义中，圆柱面根本不视为二次曲面。
在日常使用中，圆柱指一个直圆柱的有限段，其两端闭合形成圆形表面，如右图所示。若圆柱半径为r,长度为h，则它的体积为

  
    
      
        V
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
        h
        
      
    
    {\displaystyle V=\pi r^{2}h\,}
  

九章算術記載的公式是：「周自相乘，以高乘之，十二而一。」
而它的表面积为

  
    
      
        A
        =
        2
        π
        r
        (
        r
        +
        h
        )
        
      
    
    {\displaystyle A=2\pi r(r+h)\,}
  

对于给定的体积，最小表面积的圆柱满足h = 2r。对于给定的表面积，最大体积的圆柱也满足h = 2r。
也有几种不太常見的圆柱类型。这些是虚椭圆柱：

  
    
      
        
          
            (
            
              
                x
                a
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                y
                b
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}
  

和双曲柱面：

  
    
      
        
          
            (
            
              
                x
                a
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            (
            
              
                y
                b
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}
  

以及抛物柱面：

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        y
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+2y=0\,}
  


参考


## 圆锥
圓錐也称为圆锥体，是一种三维幾何體，是平面上一个圆以及它的所有切线和平面外的一个定点确定的平面围成的形体。圆形被稱为圆锥的底面，平面外的定点稱为圆锥的頂點或尖端，顶点到底面所在平面的距离称为圆锥的高。通常“圆锥”一词用来指代正圆锥，也就是圆锥顶点在底面的投影是圆心时的情况。正圆锥可以定义为一個直角三角形绕其中一條直角邊旋轉一周得到的几何体，这个直角三角形的斜边称为圆锥的母线。顶点在底面的投影不在圆心，这样的圆锥称为斜圆锥。正圆锥可以由平面截圆锥面得到，斜圆锥则不能。倾斜平面截取圆锥面得到的几何形体叫做椭圆锥。


性质
正圆锥是基本的旋转体之一，由直角三角形以其中一条直角边所在的直线为旋转轴进行旋转得到。三角形的斜边长称为圆锥的母线。


体积
設圆锥的底面圓半徑为
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
，圆锥的高为
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  
，底面圆面积为
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  
，体积为
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  
，那么圆锥体的体积可以通过以下公式计算：

  
    
      
        V
        =
        
          
            1
            3
          
        
        S
        h
        =
        
          
            1
            3
          
        
        π
        
          r
          
            2
          
        
        h
        .
      
    
    {\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}
  

其中底面圆面积：
  
    
      
        S
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle S=\pi r^{2}.}
  
 
圆锥的体积公式可以从祖暅原理推出。祖暅原理说明，如果两个高度相同的立体形体在所有等高截面上面积都相等，那么它们体积相等。以圆锥底面为基准面，放置一个底面积为
  
    
      
        π
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi r^{2}}
  
的正方锥，那么，在任何的高度
  
    
      
        0
        ≤
        x
        ≤
        h
      
    
    {\displaystyle 0\leq x\leq h}
  
上，与基准面平行的平面截圆锥的截面面积都等于截正方锥的截面面积。所以圆锥的体积等于正方锥的体积，也就是
  
    
      
        
          
            1
            3
          
        
        π
        
          r
          
            2
          
        
        h
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}
  
。另外，用现代的定积分方法也可以直接计算圆锥的体积公式，方法如下：

  
    
      
        
          
            
              
                V
              
              
                
                =
                π
                ∫
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        +
                        
                          y
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                
                
                  d
                
                z
              
              
                =
                π
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    h
                  
                
                
            


## 球
球可以指：

球 (数学)，球面內部包圍的區域。
球面，球體的表面。
球 (體育)，球類運動的必須品。
球 (1958年電影)


參見
标题以「球」開頭的所有条目


## 扇形
扇形（Circular sector）指圓上被兩條半徑和半徑所截之一段弧所圍成的圖形。因形狀如一把扇子而得名。圓形不是一種扇形。


弧长
扇形的弧长∝圆心角。

  
    
      
        L
        =
        θ
        r
      
    
    {\displaystyle L=\theta r}
  
（弧度制）

  
    
      
        L
        =
        2
        π
        r
        ⋅
        
          
            θ
            
              360
              
                ∘
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle L=2\pi r\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}}
  
（角度制）


面积
扇形的面积∝圆心角：

  
    
      
        A
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
        ⋅
        
          
            θ
            
              2
              π
            
          
        
        =
        
          
            
              
                r
                
                  2
                
              
              θ
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}
  
（弧度制）

  
    
      
        A
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
        ⋅
        
          
            θ
            
              360
              
                ∘
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}}
  
（角度制）
扇形的面积∝弧长：

  
    
      
        A
        =
        π
        
          r
          
            2
          
        
        ⋅
        
          
            L
            
              2
              π
              r
            
          
        
        =
        
          
            
              r
              L
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}}
  

扇形面积的积分形式：

  
    
      
        
          
            A
            =
            
              ∫
              
                0
              
              
                θ
              
            
            
              ∫
              
                0
              
              
                r
              
            
            d
            S
            =
            
              ∫
              
                0
              
              
                θ
              
            
            
              ∫
              
                0
              
              
                r
              
            
            
              
                
                  r
                  ~
                
              
            
            
            d
            
              
                
                  r
                  ~
                
              
            
            
            d
            
              
                
                  θ
                  ~
                
              
      


## 体积
體積（英語：Volume）是指物件佔有多少空間的量。體積的國際單位制是立方米。一件固體物件的體積是一個數值用以形容該物件在空間所佔有的空間。一維空間物件（如線）及二維空間物件（如正方形或三角形）在三維空間中均為零體積。


單位
在國際單位制（SI）的標準單位是立方米。公制系統還使用公升：1立方米= 1000公升。
中國傳統的容量單位為升、斗，多用來量米。亦有成語「升斗市民」，比喻為米飯奔波的小市民。


公式


單位列表


## 周长
周長指封閉曲線一周的長度（可以代號
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
表示）。


公式


與面積的關係
對於同一面積的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
邊形，正
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
邊形的周長最短。
對於同一面積的任意多邊形，圓形的周長最短。
對於同一周長的
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
邊形，正
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
邊形的面積最大。
對於同一周長的任意多邊形，圓形的面積最大。


三維圖形
周長只適用於二維圖形（平面、曲面）上，三維圖形（立體圖形）如柱體、錐體、反棱柱、球体、圆柱、圆锥等無法以周長表示其邊界大小，但可使用表面積表示其所有面的面積和。


參見
等周定理


參考


外部链接

埃里克·韦斯坦因. Perimeter. MathWorld. 
埃里克·韦斯坦因. Semiperimeter. MathWorld.


## 角度
度（degree，degree of arc）又稱角度，是平面角的一種計量單位，符號為「°」。一周角分為360等份，每份定義為1度（1°）。
之所以採用360這數值，是因為它容易被整除。360的整數因數除了1和自己360之外，共有22個（2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180），所以很多特殊角的角度都是整數。
在實際應用中，整數的角度已經夠精準。當需要更準確的角度值時，如天文學中量度星體或地球的經度和緯度，除了可用小數表示，還可以把角度細分為角分和角秒：1度為60分（60′），1分為60秒（60″）。例如40.1875° = 40°11′15″。要再準確一點的話，便用小數表示角秒，不再加設單位，如0″.36


古代角度單位
因為一年，即地球環繞太陽一周約為365.25天；古代中国将一周天分为365.25度。
由于月球绕行地球一周为27.3日，所行路径为白道（与黄道夹角5.145°），古人将白道圈分成28段，即将黄道和天赤道附近的天区划分为二十八个区域，因此月球大约每日可入宿到28段中的一个星宿内。二十八宿又分为四组，每组七宿，与东西南北四个方位和青龙、白虎、朱雀、玄武四种动物形象相配，称为四象。
战国时石申夫测定的二十八宿距度，由于距星与后世所取不同，其值也有差异，因此称為古度，而《三统历》之后的二十八宿距度则称为今度。


參考文獻

ISO 31-1
ISO/IEC 80000-3


參見
角分
角秒
弧度


## 弧
曲（qū）线（curve，curved line）指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹。直线是特殊的曲线。在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。
弧（arc），即曲线段（curve segment），是任何光滑连续曲线上的任意一段，包括不限制在平面上的空间弧。平面弧（plane arc）有：圆弧、椭圆弧、双曲弧等；立体弧（space arc）有：圆柱螺旋线弧、鞍面上的交线弧等。而圆弧則特指圆周上任意两点之间的一段曲线。當要表示平面上或空间内一條曲線上 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
 與 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
 兩點之間所形成的弧（不限定为圆弧）時，會寫成 
  
    
      
        
          a
          r
          c
        
        
        A
        B
      
    
    {\displaystyle \mathrm {arc} \;AB}
  
，此表示法具有高度的普适性，可以泛指任何平面弧或空间弧。


历史
若尔当曲线定理
变分法（最速降線問題、等時降線）
希爾伯特第十六問題
皮亚诺曲线和其他Space-filling curve
卷绕数


定义
在数学上，一条曲线的定义为：

设
  
    
      
        I
        =
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle I=[a,b]}
  
为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
就是一个连续函数
  
    
      
        c
        :
        I
        →
        X
      
    
    {\displaystyle c:I\rightarrow X}
  
的映射，其中
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
为一个拓扑空间。
我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
  
。
若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。
若
  
    
      
        I
        =
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle I=[a,b]}
  
和
  
    
      
        f
        (
        a
        )
        =
        f
        (
        b
        )
      
    
    {\displaystyle f(a)=f(b)}
  
，f是闭曲线（closed curve）或環圈。


曲线方程

一般来说，当在
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（curvilinear equation，curve equation）。
例如，
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
  
是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。


曲线长度

若
  
    
      
        γ
        (
        t
        )
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        X
        ⊂
        
          R
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}}
  
，则其长度是

  
    
      
        L
        (
        γ
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          |
          
            
              γ
              ′
            
            (
            t
            )
          
          |
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t}
  


平面曲线
例如，若一条平面曲线可表达成标准方程
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )


## 整数
整数（英語：integer）在電腦應用上也稱為整型，是集合
  
    
      
        {
        …
        ,
        −
        4
        ,
        −
        3
        ,
        −
        2
        ,
        −
        1
        ,
        0
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}
  
中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數集合一樣，整數集合也是一個可數的無限集合。整数集合通常寫作粗體的
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Z} }
  
或
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
（源于德语单词Zahlen，意为“数”）。
在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。


正整数与负整数

整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z+或
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
  
）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：Z-或
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
  
）即小於0的整數，是负数与整数的交集。和整數一样，两者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常将0與正整數统称为非負整數（符号：Z+0或
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            0
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}
  
），而将0與負整數统称为非正整數（符号：Z-0或
  
    
      
        
          
            Z
          
          
            0
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{-}}
  
）。在数论中自然数
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
  
通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。


代数性质
下表给出任何整数
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
      
    
    {\displaystyle a,b,c}
  
的加法和乘法的基本性质。

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是
  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与
  
    
      
        (
        
          Z
        
        ,
        +
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}
  
同构。


有序性质

  
    
      
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} }
  
是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：

  
    
      
        …
        <
        −
        2
        <
        −
        1
        <
        0
        <
        1
        <
        2
        <
        …
      
    
    {\displaystyle \ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots }
  

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。
整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

若
  
    
      
        a
        <
        b
      
    
    {\displaystyle a<b}
  
且
  
    
      
        c
        <
        d
      
    
    {\displaystyle c<d}
  
，则
  
    
      
        a
        +
        c
        <
        b
        +
        d
      
    
 


## 有理数
在数学中，有理数（rational number）的定义是：可以表示为两个整数比的数；此处的整数比写为分数形式 
  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}}
  
, 
  
    
      
        b
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle b\neq 0}
  
。例如：0.375 可以表示为 
  
    
      
        
          
            3
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{8}}}
  
，因此 0.375 是有理数，当然 
  
    
      
        
          
            3
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{8}}}
  
 本身也是有理数。
按上述有理数定义，可知整数和整数分数统称有理数；而与有理数相對的是无理数，不是有理數的實數遂稱為無理數；例如 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
无法用整数比表示，因此 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
 是无理数。
並非所有以分數表示的數字皆為有理數，例如 
  
    
      
        
          
            
              2
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
  
 並不是有理數，其不符合可表示为整数比的定义。
所有有理数構成的集合常寫作 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Q} }
  
 或 
  
    
      
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} }
  
，其定义為：

  
    
      
        
          Q
        
        =
        
          {
          
            
              
                m
                n
              
            
            :
            m
            ,
            n
            ∈
            
              Z
            
            ,
            n
            ≠
            0
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}
  

有理数寫作小数時，其小数部分为有限或为循环。


词源
有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。


运算
有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的（其中除法的除數不能為 0），亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下：

  
    
      
        
          
            a
            b
          
        
        +
        
          
            c
            d
          
        
        =
        
          
            
              a
              d
              +
              b
              c
            
            
              b
              d
            
          
        
        
         
         
         
         
         
         
        
          
            a
            b
          
        
        ⋅
        
          
            c
            d
          
        
        =
        
          
            
              a
              c
            
            
              b
              d
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}
  

两个有理数 
  
    
      
        
 


## 无理数
無理數（irrational number）是指有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。
非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。
傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现，他以幾何方法證明
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
無法用整数及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數存在，後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。


举例

  
    
      
        
          
            3
          
        
        =
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {3}}=}
  
1.73205080…

  
    
      
        
          log
          
            10
          
        
        ⁡
        3
        =
      
    
    {\displaystyle \log _{10}3=}
  
＝0.47712125…

  
    
      
        e
        =
      
    
    {\displaystyle e=}
  
2.71828182845904523536…

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          45
          
            ∘
          
        
        =
        
          
            
              2
            
            2
          
        
        =
      
    
    {\textstyle \sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}=}
  
0.70710678…

  
    
      
        π
        =
      
    
    {\displaystyle \pi =}
  
3.141592653589793238462…


性质
无理数加或减有理数必得无理数。
无理数乘以或除以不等于0的有理数必得无理数。
无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。但无理数的无理数次幂不一定是无理数，如
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  2
                
              
              
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            
              2
            
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle {({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})}^{\sqrt {2}}=2}
  
是有理数。


不知是否是無理數的數
無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數。如
  
    
      
        
          log
          
            10
          
        
        ⁡
        2
        +
        
          log
          
            10
          
        
        ⁡
        5
        =
        
          log
          
            10
          
        
        ⁡
        10
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \log _{10}2+\log _{10}5=\log _{10}10=1}
  
，
  
    
      
        
          
            2
          
        
        ×
        
          
            
              2
            
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}\times {\frac {\sqrt {2}}{2}}=1}
  
都是无理数与无理数进行四则运算得到有理数的例子。只有一些特定形式的数，如
  
    
      
        
          
            2
          
        
        +
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}
  
，可以证明是无理数。而
  
    
      
        π
        +
        e
      
    
    {\displaystyle \pi +e}
  
、
  
    
      
        π
        −
        e
      
    
    {\displaystyle \pi -e}
  
等数未知是否是无理数，事实上，對于任何非零整數
  
    
    


## 实数
在數學中，实数（英語：real number）是有理數和無理數的总称，前者如
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
、
  
    
      
        −
        4
      
    
    {\displaystyle -4}
  
、
  
    
      
        
          
            81
            7
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {81}{7}}}
  
；后者如
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
、
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
等。实数可以直观地看作小數（有限或無限的），它們能把数轴「填滿」。但僅僅以枚舉的方式不能描述實數的全體。实数和虚数共同构成复数。
根据日常经验，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，于是古人一直认为用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
公分的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於
  
    
      
        0.001
      
    
    {\displaystyle 0.001}
  
公分），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如
  
    
      
        1.414
      
    
    {\displaystyle 1.414}
  
公分）。但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念；他們原以為：

任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。
正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有「萬物皆數」的信念，這裡的數是指自然數（
  
    
      
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle 1,2,3,\ldots }
  
），而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在「縫隙」這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊；見第一次數學危機。
從古希臘一直到17世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，並把它和有理數平等地看作數；後來有虚数概念的引入，為加以區別而稱作“實數”，意即“實在的數”。在當時，儘管虛數已經出現並廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的戴德金、康托尔等人對實數進行了嚴格處理。
所有实数的集合則可稱為实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
表示。由于
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。


初等數學
在目前的初等數學中，没有對實數進行嚴格的定義，而一般把實數看作小數（有限或無限的）。实数的完备性可以利用幾何加以说明，即数轴上的點與實數一一對應；見数轴。
实数可以分为有理数（如
  
    
      
        42
      
    
    {\displaystyle 42}
  
、
  
    
      
        −
        
          
            23
            129
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {23}{129}}}
  
）和无理数（如
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
、
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
），或者代数数和超越数（有理數都是代數數）两类。实数集合通常用字母
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
  
或
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  
表示。而
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
表示
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。
实数可以用来测量连续變化的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
位，
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。


正数与负数

实数是一个集合，通常可以分为正数、负数和零（
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
）三类。「正数」（符号：
  
  


## 复数
复数可以指：

复数 (数学)，數學名詞。
複數 (語法)，語言學名詞，也称众数。


參見
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## 代数
代數是一個較為基礎的數學分支。它的研究對象有許多。諸如數、數量、代數式、關係、方程理論、代數結構等等都是代數學的研究對象。
初等代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時会發生什麼，以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。
代數的研究對象不僅是數字，还有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。


历史

代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代，當時的人們發展出了較之前更進步的算術系統，使其能以代數的方法來做計算。經由此系統的被使用，他們能夠列出含有未知數的方程並求解，這些問題在今日一般是使用線性方程、二次方程和不定線性方程等方法來解答的。相對地，這一時期大多數的埃及人及西元前1世紀大多數的印度、希臘和中國等數學家則一般是以幾何方法來解答此類問題的，如在《萊因德數學紙草書》、《繩法經》、《幾何原本》及《九章算術》等書中所描述的一般。希臘在幾何上的工作，以幾何原本為其經典，提供了一個將解特定問題解答的公式廣義化成描述及解答方程之更一般的系統之架構。
代數的英語為 algebra ，源於阿拉伯語單字「al-jabr」，出自《代數學》（阿拉伯語：al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala）這本書的書名上，意指移項和合並同類項之計算的摘要，其為波斯回教數學家花拉子米於820年所著。Al-Jabr此詞的意思為「重聚」。傳統上，希臘數學家丟番圖被認為是「代數之父」，但現在則有些爭論，是否花拉子米比丟番圖更適合此稱號。支持花拉子米的人指出其對於約化的成果到今日都還有用途，且他更給出了一個解答二次方程的一詳盡說明。而支持丟番圖的人則主張在Al-Jabr裡出現的代數比在Arithmetica裡出現的更為基本，且Arithmetica是簡字的而Al-Jabr卻完全是文辭的。另一位波斯數學家歐瑪爾·海亞姆發展出代數幾何，且找出了三次方程的一般幾何解法。印度數學家摩訶吠羅和婆什迦羅與中國數學家朱世杰解出了許多三次、四次、五次及更高次多項式方程的解了。
代數更進一步發展的另一個關鍵事件在於三次及四次方程的一般代數解，其發展於16世紀中葉。行列式的概念發展於17世紀的日本數學家關孝和手中，並於十年後由萊布尼茨繼續發展著，其目的是為了以矩陣來解出線性方程組的答案來。加布里爾·克拉默也在18世紀時在矩陣和行列式上做了一樣的工作。抽象代數的發展始於19世紀，一開始專注在今日稱為伽羅瓦理論及規矩數的問題上。


發展歷程
符号代数的发展历程漫长而曲折，大致可分为四个阶段。最初的文辞代数，兴起于巴比伦时期，并一直延续到16世纪。它完全依靠文字来表述和解决代数问题。随后，几何建构代数逐渐兴起，在吠陀时期和古希腊数学家那里得到重视，他们利用几何图形来解决代数问题。第三个阶段是简字代数，由丢番图在其著作巴赫沙里手稿中发展而来，引入了缩写和符号来表示未知数和运算。最终，在莱布尼茨时期，符号代数发展到顶峰，成为了人们今天所熟知的代数形式。

追溯代数发展的历史，最早可以追溯到公元前1800年左右，旧巴比伦的斯特拉斯堡泥板书中就记载了人们对二次椭圆方程解法的探索。公元前1600年左右，普林顿322号泥板书中以巴比伦楔形文字记录了勾股数列表。公元前800年左右，印度数学家包德哈亚那在其著作包德哈尔那绳法经中使用代数方法找到了勾股数，并给出了线性方程和二次方程的几何解法。约公元前600年，阿帕斯檀跋在其著作中提出了一次方程的一般解法和包含至多五个未知数的丢番图方程组的解法。
古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中，使用尺规作图的方法，基于毕达哥拉斯学派的几何学，给出了二次方程的解法。同一时期，倍立方问题的几何解法也被提出，然而，后人证明该问题无法使用尺规作图方法求解。公元前100年左右，中国数学家在《九章算术》中对代数方程进行了深入研究，其中包括使用试位法求解线性方程、二次方程的几何解法以及类似于现代消元法的方法求解线性方程组，并应用了一次内插法。与此同时，在古印度，巴赫沙里手稿中出现了使用字母和其他符号的代数标记法，其中包含三次和四次方程、多达五个未知数的线性方程的代数解、二次方程的一般代数公式以及不定二次方程和方程组的解法。
公元150年左右，希腊化埃及数学家希罗在其三卷数学著作中论述了代数方程。大约200年后，被誉为“代数之父”的丢番图在其著作算术中系统地论述了代数方程的解法和数论问题。
之后，印度数学家阿耶波多和婆罗摩笈多在5世纪和7世纪分别对线性方程、不定方程和二次方程做出了重要贡献。婆罗摩笈多甚至认识到了二次方程的负数根和无理数根。同一时期，中国数学家王孝通找到了三次方程的数值解，僧一行则将不等间距内插法应用于《大衍历》的计算中。
公元820年，波斯数学家花拉子米的著作完成和平衡计算法概要标志着现代代数学的诞生。他系统地论述了线性方程与二次方程的求解方法，被后世誉为“代数之父”。之后，波斯和印度数学家在高次方程和不定方程的研究方面取得了突破性进展。阿爾卡拉吉将花拉子米的代数方法进一步扩展，引入了未知数的整数次方和整数开方运算。印度数学家摩訶吠羅解出了许多高次方程和不定方程。中国数学家贾宪使用贾宪三角形找到了多项式方程的数值解，而朱世杰则在多项式代数和多元高次方程组的求解方面做出了重要贡献。
从16世纪开始，欧洲数学家在代数领域取得了重大突破。费罗、塔尔塔利亚和卡尔达诺等人先后解决了三次方程的求解问题。弗朗索瓦·韦达和托马斯·哈里奥特在改进代数符号系统方面做出了重要贡献。莱布尼茨在17世纪发展了形式规则的符号操作概念，为现代代数奠定了基础。与此同时，日本数学家关孝和在行列式和高次方程求解方面也取得了重要成果。
18世纪，加布里爾·克拉默提出了克萊姆法則，并对代数曲线、矩阵和行列式进行了研究。最后，在19世纪，埃瓦里斯特·伽罗瓦的工作发展出了伽罗瓦理论，标志着抽象代数的诞生。


分类

初等代数：學習以位置標誌符(place holders)標記常數和變數的符號，與掌控包含這些符號的表示式及方程式的法則，來記錄實數的運算性質。（通常也會涉及到中等代數和大學代數的部分範圍。）
抽象代數：討論代數結構的性質，例如群、環、域等。這些代數結構是在集合上定義運算而來，而集合上的運算則適合某些公理。
線性代數：專門討論矢量空間，包括矩陣的理論。
泛代數，討論所有代數結構的共有性質。
計算代數：討論在電腦上進行數學的符號運算的演算法。


初等代數

初等代數是代數中最基本的一種類型。其教導對象為假定不具有對算術基本原則之類的數學知識之學生。雖然在算術裡，只有數和其算術運算（如加、減、乘、除）會出現；而在代數，數則通常會以 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
、
  



## 函数
函数（英語：function）是數學描述對應關係的一種特殊集合；粗略地說，從集合
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
到集合
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
的函數將
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
的一個元素恰好分配給
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
的每個元素。集合
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
稱為函數的定义域，集合
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  
稱為函數的到达域。
函數最初是一個變化的量如何依賴另一個量的理想化。例如，特定時間行星的位置可以視為是行星的位置對時間的函數。“函数”一词作为数学概念是由莱布尼茨首先引入的。從歷史上看，這個概念是在17世紀末用無窮微積分來闡述的，直到19世紀，所考慮的函數都是可微的。函數的概念於19世紀末在集合論中被形式化，這大大擴展了這個概念的應用領域。


簡介
若
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
是實數，以有序對
  
    
      
        (
        x
        ,
        
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x,\,x^{2})}
  
為元素所構成的集合就是一個函数。直觀上代表「輸入」
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
就可以得到唯一值
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  
的對應關係。
一般會以英文字母
  
    
      
        f
        ,
        
        g
        ,
        
        h
      
    
    {\displaystyle f,\,g,\,h}
  
表示函数，並把
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
依據函数
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
的對應規則所得到的值写作
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  
，並讀作「f of x」。函数的概念不限於數之间的對應关系，例定义函数
  
    
      
        Capital
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Capital} }
  
為世界上所有國家跟它現在的首都的對應關係，那輸入英国就會输出唯一值伦敦：
  
    
      
        Capital
        ⁡
        (
        
          U
          .
          K
          .
        
        )
        =
        
          L
          o
          n
          d
          o
          n
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Capital} (\mathrm {U.K.} )=\mathrm {London} }
  
。
直觀上的「多變數函數」其實也可以概括到一般函數的定義裡。例如算式
  
    
      
        x
        ×
        y
      
    
    {\displaystyle x\times y}
  
有兩個實數參數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
和
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
。可以將這兩個參數看作一個實數有序对
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
，然後定義一個以
  
    
      
        (
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        ,
        
        x
        ×
        y
        )
      
    
    {\displaystyle ((x,\,y),\,x\times y)}
  
為元素所構成的函數
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  
，然後把
  
    
      
        f
        [
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        ]
        =
        x
        ×
        y
      
    
    {\displaystyle f[(x,\,y)]=x\times y}
  
簡記成符合直觀的
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        
        y
        )
        =
        x
        ×
        y
      
    
    {\disp


## 一次函数
在數學裏，線性函數（又称一次函数）在不同的領域中有多於一个用途和含意。


初等數學用法

 
在初等代數與解析幾何，線性函數是只擁有一個变数的一階多項式函数或者是只有常数的函数，因為在直角坐標系中這些函数的图形是直線。所以，這些函數是線性的。線性函數可以表達為斜截式：

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        k
        x
        +
        b
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=kx+b\,\!}
  
 （
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
为常数且
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
≠
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
）；
其中， 
  
    
      
        k
        
        
      
    
    {\displaystyle k\,\!}
  
 是斜率， 
  
    
      
        b
        
        
      
    
    {\displaystyle b\,\!}
  
 是y-截距，即函數的圖形與y-軸相交的y-坐標。改變斜率 
  
    
      
        k
        
        
      
    
    {\displaystyle k\,\!}
  
 會使直線更陡峭或平緩。改變y-截距 
  
    
      
        b
        
        
      
    
    {\displaystyle b\,\!}
  
 會將直線向上或下平移。
以下三個直線函數的圖形展示於圖右：

  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        2
        x
        +
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{1}(x)=2x+1\,\!}
  
 ，

  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
            2
          
        
        +
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{2}(x)={\frac {x}{2}}+1\,\!}
  
 ，

  
    
      
        
          f
          
            3
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
            2
          
        
        −
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle f_{3}(x)={\frac {x}{2}}-1\,\!}
  
 。
当
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
或
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
不同时，一次函数经过的象限也不同，见下表：


高等數學用法

在高等數學裏的線性代數中，線性函數是一種線性映射，是在兩個向量空間之間，維持向量加法與純量乘法的映射。

  
    
      
        f
        (
        
          x
        
        +
        
          y
        
        )
        =
        f
        (
        
          x
        
        )
        +
        f
        (
        
          y
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}
  

  
    
      
        f
        (
        a
        
          x
        
        )
        =
        a
        f
        (
        
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} )}
  

例如我們用坐標向量 來表示 
  
    
      
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle x\,\!}
  
 與 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x)\,\!}
  
 ，那麼線性函數可以表達成

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          M
        
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\mathrm {M} x\,\!}
  
，當中
  
    
      


## 二次函数
在数学中，二次函数（英語：quadratic function）表示形为 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}
  
（
  
    
      
        a
        ≠
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle a\neq 0\,\!}
  
，且
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
、
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
是常数）的多项式函数，其中，
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
为自变量，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
、
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
、
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
轴的抛物线。
二次函数表达式
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
  
的定义是一个二次多项式，因为
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的最高冪次是2。
如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。


历史
大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。
11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。


根

二次方程 
  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}
  
 的两个根为：
  
    
      
        x
        =
        
          
            
              −
              b
              ±
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
  
解方程后，我们会得到两个根：
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  
和
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  
。则点
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{1},0)}
  
和
  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (x_{2},0)}
  
就是二次函数与
  
    
      
        x
      
    


## 反比例函数
在数学上，要定义“比例”，必须先定义“比”。比（ratio）是兩個非零數量 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 與 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 之間的比較關係，記為 
  
    
      
        y
        :
        x
        
        (
        x
        ,
        y
        ∈
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle y:x\;(x,y\in \mathbb {R} )}
  
，在計算時則常写作：
  
    
      
        
          
            y
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {y}{x}}}
  
 或 
  
    
      
        y
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle y/x}
  
。
比例（proportion）或比例式、等比式，是“两个比”相等的式子；表示同类型（相同单位）的“两个比之间”的关系。因此，比值相等的两个比才能组成比例，且比例必须以等式的形式呈现。例如：
  
    
      
        
          
            y
            x
          
        
        =
        
          
            b
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}}
  
 或 
  
    
      
        y
        :
        x
        =
        b
        :
        a
      
    
    {\displaystyle y:x=b:a}
  
 才能称作比例，而 
  
    
      
        
          
            y
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {y}{x}}}
  
 或 
  
    
      
        y
        :
        x
      
    
    {\displaystyle y:x}
  
 只能称作比。
比值（ratio value，ratio）强调比的数值，是由比的关係所导引出的前项除以后项的数值（即“商”）；在某些语境下，比值也称占比（proportion，share）、比例、比率。比值按字面的原义，是两者的倍数关系，进而引申为一個数或变量除以另一個数或变量的商值。由于比的数学的定义是数或同类量相除，所以所得之商——比值——无单位。
组成比例的四个数，称为比例的项；等式最两端的两项称为外项，等式中央的两项称为内项。与比不同的是：比由两个数组成；比例由四个数组成。
若两个變量的关系符合：其中一个量等于另一个量乘以一个常数 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
（
  
    
      
        y
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle y=kx}
  
，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 稱為 比例常数 或 比例係數），或等价地表达为：两變數的比值為一個定值（此定值或商，稱為 比（ratio），但比的定义不限于定值），则称两者是“成比例的”，或称两者“成正比”。
若几对变量共享相同的直接比例常数，则表示这些比值相等的方程称为比例式（proportion）或等比关系。例如：b/a = y/x = ⋯ = k 。比例性（proportionality）则与线性关系（linearity）密切相关。


定义
若存在一常数 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
，使：
  
    
      
        y
        =
        k
        x
      
    
    {\displaystyle y=kx}
  
，（
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 是因变量，
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 是自变量，
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  
 是常数，且 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  

  
    
      
        ≠
      
    
    {\displaystyle \neq }
  

  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
），
则称变量 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 与变量 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 成比例（有时也称为“成正比”）。当 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 和 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
 成正比关系时，当
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 变为原來 
  
    
      
        k
    


## 勾股定理
勾股定理（英語：Pythagorean theorem / Pythagoras' theorem）是平面几何的基本定理。該定理的大意是在平面中，直角三角形的兩邊直角長的平方和等于斜边长的平方。若化作等式，則會把兩個直角邊記為
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
與
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
、斜邊長記為
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
，並寫作：

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}
  

此定理又稱毕氏定理、商高定理、畢達哥拉斯定理、新娘座椅定理或百牛定理。「畢氏」所指的是其中一個發現這個定理的古希臘「數學家畢達哥拉斯，但歷史學家相信這個定理早在畢達哥拉斯出生的一千年前已經在世界各地廣泛應用。不過，現代西方數學界統一稱呼它為「畢達哥拉斯定理」。日本除了翻譯西方的「畢達哥拉斯之定理」外亦有「三平方之定理」的稱呼。而「商高定理」則是源自《周髀算經》中商高與周公的對談一節。但周髀算經的發現經過有爭議。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，後世衍生了四百多種證明法，包括微分證明、面積證明等。有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理。另外，餘弦定理是勾股定理的一個推广。


定理
在平面上的一個直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
和
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，斜边长度是
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
，那么可以用数学语言表达：

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  

或

  
    
      
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        c
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=c}
  

如果斜邊的長度
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
和其中一條邊（
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
或
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
）知道，那另一邊的長度可以這樣計算：

  
    
      
        a
        =
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            −
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.\,}
  

或

  
    
      
        b
        =
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            −
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.\,}
  

簡單來說，只要知道直角三角形的其中兩條邊長，便能求出第三條邊長。


證明
勾股定理現約有400種证明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。路明思（Elisha Scott Loomis）的《Pythagorean Proposition》一書中總共提到367種證明方式。
有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。


趙爽勾股圆方图证明法
中国三


## 圆周率
圓周率是数学常数，等於任何圆的周长和其直径的比，一個常見的近似值等於3.14159265，常用符号
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
表示。

  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
是无理数，不能用分数表示出来（即它的小数部分是无限不循环小数），但近似
  
    
      
        
          
            22
            7
          
        
      
    
    {\textstyle {\frac {22}{7}}}
  
等有理数。學界認為
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的数字序列在统计上是随机分布，但迄今未能证明。此外，
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
还是超越数，亦即它不是任何有理系数多项式的根；化圆为方的问题不可能用尺规作图解决。
几个文明古国很早就須计算出
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的精确值以便于生产的计算。西元5世纪，中國劉宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位。大约同时，印度数学家也将圆周率计算到小数点后5位。史上首條
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的精确无穷级数公式（即π的莱布尼茨公式）直到约1000年后才由印度数学家发现。微積分出現，
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的位數很快計到數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。在20和21世纪，计算机技术快速发展，
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的计算精度急速提高。截至2024年3月，
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的十进制精度已達105万亿位。几乎所有科学研究对
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的精度要求都不超过几百位，当前计算
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的值主要都为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法。

  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的定义涉及圆，在三角学和几何学的许多公式，特别是广泛应用在圆形、球形或椭球形相關公式中。在近代數學分析裡，
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
改由實數系統譜性質中的特征值或週期來定義，其他數學領域如數論、統計以及幾乎所有物理學領域均有出現，
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的广泛用途使它成为科学界内外最广为人知的数学常数。几本专门介绍
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的书籍经已出版，圆周率日（3月14日）和
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外，背诵
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
值的世界记录已达10萬位。


基本概念


名称
数学家用小写希腊字母
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
表示圆周和其直径之比，有时也将其拼写为“Pi”，来自希腊语“περίμετρος”（周长）的首字母。英语
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的发音与英文单词“Pie”（/paɪ/，西式馅饼）相同。π的小写字母（或其无衬线体）在数学要和表示求積符號的大写Π相区分开。
关于选择符号
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
的原因，请参见引入π符号一节。


定义

  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
常用定义为圆的周长
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
与直径
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
的比值：

  
    
      
        π
        =
        
          
            C
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}
  
。
无论圆的大小如何，比值
  
    
      
        
          
            C
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {C}{d}}}
  
为恒值。如果圆的直径变为原先的二倍，周长也变为二倍，比值
  
    
      
        
          
            C
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {C}{d}}}
  
不变。
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
目前的定


## 素数
質數（英語：prime number或prime），又称素数，指在大於1的自然数中，除了
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  
和該数自身外，無法被其他自然数整除的数（也可定義為只有1與該數本身两个正因数的数）。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合数（也稱為合成數）。例如，5是個質數，因為其正因數只有1與5。7是個質數，因為其正因數只有1與7。而4則是個合數，因為除了1與4外，2也是其正因數。6也是個合數，因為除了1與6外，2與3也是其正因數。算术基本定理確立了質數於数论裡的核心地位：任何大於1的整数均可被表示成一串唯一質數之乘積。為了確保該定理的唯一性，1被定義為不是質數，因為在因式分解中可以有任意多個1（如
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
、
  
    
      
        1
        ×
        3
      
    
    {\displaystyle 1\times 3}
  
、
  
    
      
        1
        ×
        1
        ×
        3
      
    
    {\displaystyle 1\times 1\times 3}
  
等都是3的有效因數分解）。
公元前300年前後。古希臘數學家欧几里得證明有無限多個質數存在（欧几里得定理）。現時人們已發現多種驗證質數的方法。其中试除法比較簡單，但需時較長：設被測試的自然數為
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
，此方法需逐一測試2與
  
    
      
        
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}}
  
之間的質數，確保它們無一能整除
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
。對於較大或一些具特別形式（如梅森數）的自然數，人們通常使用較有效率的演算法測試其是否為質數（例如282589933-1是直至2024年4月為止已知最大的梅森質數，也是直至2024年4月為止已知最大的質數）。雖然人們仍未發現可以完全區別質數與合數的公式，甚至研究質數分布時相當有力的篩法也會碰到奇偶性問題（也就是多種篩法都無法區別質數跟兩個質數相乘的合數的問題），但已建構了質數的分佈模式（亦即質數在大數時的統計模式）。19世紀晚期得到證明的質數定理指出：一個任意自然數n為質數的機率反比於其數位（或
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
的对数）。
許多有關質數的問題依然未解，如哥德巴赫猜想（每個大於2的偶數可表示成兩個素數之和）及孿生質數猜想（存在無窮多對相差2的質數）。這些問題促進了數論各個分支的發展，主要在於數字的解析或代數方面。質數被用於資訊科技裡的幾個程序中，如公鑰加密利用了難以將大數分解成其質因數之類的性質。質數亦在其他數學領域裡形成了各種廣義化的質數概念，主要出現在代数裡，如質元素及質理想。


定義和例子
一個自然數（如1、2、3、4、5、6等）若恰有兩個正因數（1及此數本身），則稱之為質數。大於1的自然數若不是質數，則稱之為合數。

在數字1至6間，數字2、3與5為質數，1、4與6則不是質數。1不是質數，其理由見下文。2是質數，因為只有1與2可整除該數。接下來，3亦為質數，因為1與3可整除3，3除以2會餘1。因此，3為質數。不過，4是合數，因為2是另一個（除1與4外）可整除4的數：

4 = 2 · 2
5又是個質數：數字2、3與4均不能整除5。接下來，6會被2或3整除，因為

6 = 2 · 3
因此，6不是質數。右圖顯示12不是質數：12 = 3 · 4。不存在大於2的偶數為質數，因為依據定義，任何此類數字
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
均至少有三個不同的因數，即1、2與
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
。這意指
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
不是質數。因此，「奇質數」係指任何大於2的質數。類似地，當使用一般的十進位制時，所有大於5的質數，其尾數均為1、3、7或9，因為尾數0、2、4、6、8為2的倍數，尾數為0或5的數字為5的倍數。
若
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
為一自然數，則1與
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
會整除
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
。因此，質數的條件可重新敘述為：一個數字為質數，若該數大於1，且沒有

  
    
      
        2
        ,
        3
        ,
        …
        ,
        n
        −
        1
      
    
    {\displaystyle 2,3,\ldots ,n-1}
  

會整除
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
。另一種敘述方式為：一數
  
    
      
        n
        >
        1
      
    
    {\displaystyle n>1}
  
為質數，若不能寫成兩個整數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
與
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
的乘積，其中這兩數均大於1：

  
    
      
        n
        =
        a
        ⋅
        b
      
    
    {\displaystyle n=a\cdot b}
  
.
換句話說，
  
    
      
        n
      
    
    {\display


## 因数
因数（英語：factor）也称 约数、因子、除子、除數（divisor），是一个常见的数学名词，用于描述自然数 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和自然数 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 之间存在的整除关系，即 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 可以被 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 整除。这里我们称 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 是 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的倍数，
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 是 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 的因数或因子。


定义
设 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
 满足  
  
    
      
        a
        ∈
        
          
            N
          
          
            ∗
          
        
        ,
        b
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle a\in \mathbb {N} ^{*},b\in \mathbb {N} }
  
. 若存在  
  
    
      
        q
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle q\in \mathbb {N} }
  
 使得  
  
    
      
        b
        =
        a
        q
      
    
    {\displaystyle b=aq}
  
, 那么就说  
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 是  
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的倍数， 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 是 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
 的因数。这种关系记作  
  
    
      
        a
        
          |
        
        b
      
    
    {\displaystyle a|b}
  
,读作“
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 整除 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
”.
例如 
  
    
      
        24
        =
        3
        ×
        8
        ,
        
        1150
        =
        25
        ×
        46
      
    
    {\displaystyle 24=3\times 8,\;1150=25\times 46}
  
. 所以  
  
    
      
        3
        
          |
        
        24
        ,
        
        25
        
          |
        
        1150
      
    
    {\displaystyle 3|24,\;25|1150}
  
，同时 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
 是 
  
    
      
        24
      
    
    {\displaystyle 24}
  
 的因数；
  
    
      
        25
      
    
    {\displaystyle 25}
  
 是 
  
    
      
        1150
      
    
    {\displaystyle 1150}
  
 的因数。
除了自己本身外的因數，稱為 真因數 或 真因子（proper divisor）。


性质
若 
  
    
      
        a
        
          |
        
        b
        ,
        
        b
        
          |
        
        c
      
    
    {\displaystyle a|b,\;b|c}
  
 那么 
  
    
      
        a
        
          |
        
        c
      
    
    {\displaystyle a|c}
  
.
若 
  
    
      
        a
        
          |
        
        b
        ,
        
        a
        
          |
        
        c
      
    
    {\displaystyle a|b,\;a|c}
  
 且 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
   


## 最大公约数
最大公因數（英語：highest common factor，hcf）也稱最大公約數（英語：greatest common divisor，gcd）是數學詞彙，指能够整除多個非零整數的最大正整数。例如8和12的最大公因数为4。
最大公因数的值至少為1，例如
  
    
      
        gcd
        (
        3
        ,
        7
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \gcd(3,7)=1}
  
；最大則為該組整數中絕對值最小的絕對值，例如
  
    
      
        gcd
        (
        3
        ,
        9
        )
        =
        3
      
    
    {\displaystyle \gcd(3,9)=3}
  
和
  
    
      
        gcd
        (
        −
        3
        ,
        9
        )
        =
        3
      
    
    {\displaystyle \gcd(-3,9)=3}
  
。
求兩個整數最大公因數主要的方法：

列舉法：分別列出兩整數的所有因數，並找出最大的公因數。
質因數分解：分別列出兩數的質因數分解式，並計算共同項的乘積。
短除法：兩數除以其共同質因數，直到兩數互質時，所有除數的乘積即為最大公因數。
欧几里得算法：
  
    
      
        gcd
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        gcd
        (
        b
        ,
        a
        
        
          m
          o
          d
        
        
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,a\,\mathrm {mod} \,b)}
  

兩個整數
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
的最大公因數和最小公倍數（lcm）的關係為：

  
    
      
        gcd
        (
        a
        ,
        b
        )
        lcm
        ⁡
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        
          |
        
        a
        b
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \gcd(a,b)\operatorname {lcm} (a,b)=|ab|}
  

兩個整數的最大公因數可用於計算兩數的最小公倍數，或分數化簡成最簡分數。
兩個整數的最大公因數和最小公倍數中存在分配律：

  
    
      
        gcd
        (
        a
        ,
        lcm
        ⁡
        (
        b
        ,
        c
        )
        )
        =
        lcm
        ⁡
        (
        gcd
        (
        a
        ,
        b
        )
        ,
        gcd
        (
        a
        ,
        c
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))}
  

  
    
      
        lcm
        ⁡
        (
        a
        ,
        gcd
        (
        b
        ,
        c
        )
        )
        =
        gcd
        (
        lcm
        ⁡
        (
        a
        ,
        b
        )
        ,
        lcm
        ⁡
        (
        a
        ,
        c
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c))}
  

在直角坐標中，兩頂點為
  
    
      
        (
        0
        ,
        0
        )
        ,
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (0,0),(a,b)}
  
的線段會通過
  
    
      
        gcd
        (
        a
        ,
        b
        )
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \gcd(a,b)+1}
  
個格子點。


概述


例子
54和24的最大公因数是多少？
数字54可以表示為几组不同正整數的乘積：

  
    
      
        54
        =
        1
        ×
        54
        =
        2
        ×
        27
        =
        3
        ×
        18
        =
        6
        ×
        9
    


## 最小公倍数
最小公倍數（英語：least common multiple，lcm）是数论中的一个概念。若有一個數
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
，可以被另外兩個數
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
、
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
整除，且
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
同時大於或等于
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
，則
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
為
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的公倍數。
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  
和
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  
的公倍數有無限個，而所有正的公倍數中，最小的公倍數就叫做最小公倍數。同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
个整数
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}
  
的最小公倍数一般记作：
  
    
      
        [
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}
  
，或者参照英文记法记作
  
    
      
        lcm
        ⁡
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          a
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lcm} (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}
  
。
对分數进行加減运算時，要求兩數的分母相同才能計算，故需要通分；标准的计算步骤是将兩個分數的分母通分成它们的最小公倍數，然后将通分后的分子相加。


与最大公因数之关系
两个整数的最小公倍数与最大公因数之间有如下的关系：

  
    
      
        lcm
        ⁡
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        
          
            
              
                |
              
              a
              ⋅
              b
              
                |
              
            
            
              gcd
              ⁡
              (
              a
              ,
              b
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}}
  


计算方法
最小公倍数可以通过多种方法得到，最直接的方法是列举法，从小到大列举出其中一个数（如最大數）的倍数，当这个倍数也是另一个数的倍数时，就求得最小公倍数。另一个方法是利用公式
  
    
      
        lcm
        ⁡
        (
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                a
    


## 绝对值
在数学中，实数
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的绝对值或模，记号为
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |a|}
  
，是指去掉
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的符号所得的非负值。若
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是正数，则
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle |a|=a}
  
； 若
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
是负数（则
  
    
      
        −
        a
      
    
    {\displaystyle -a}
  
是正数），则
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        =
        −
        a
      
    
    {\displaystyle |a|=-a}
  
；零的绝对值为零（
  
    
      
        
          |
        
        0
        
          |
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle |0|=0}
  
）。例如，
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
和
  
    
      
        −
        3
      
    
    {\displaystyle -3}
  
的绝对值都是
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  
。绝对值可看作该数和零之间的距离。
绝对值的定义也可以从实数扩展到复数、四元数、有序环、域、向量空间等范围。在数学和物理中，绝对值与量、距离、范数等概念密切相关。


實數的絕對值

若實數 
  
    
      
        a
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle a\neq 0}
  
，則在兩個相互對稱的數 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和 
  
    
      
        −
        a
      
    
    {\displaystyle -a}
  
 中恰有一個數大於 0，這個大於 0 的數就稱為數 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 和數 
  
    
      
        −
        a
      
    
    {\displaystyle -a}
  
 的絕對值，記為 
  
    
      
        
          |
          a
          |
        
        =
        
          |
          
            −
            a
          
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|a\right|=\left|-a\right|}
  
 ，0 的絕對值為 0 。
一個數的絕對值最小值為0，某數的絕對值表示為 
  
    
      
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |}
  
 某數 
  
    
      
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |}
  
 。對於所有實數 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 ：若 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 是負數， 
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        =
        −
        x
      
    
    {\displaystyle |x|=-x}
  
 （即是 
  
    
      
        −
        x
      
    
    {\displaystyle -x}
  
 是一個正數）；若 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
 非負， 
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle |x|=x}
  
 本身。即：

  
    
      
        
          |
          a
          |
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  a
                
                
                  (
                  a


## 平方根
在數學中，一個數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的平方根
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
指的是滿足
  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y^{2}=x}
  
的數，即平方結果等於
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的數。例如，4和-4都是16的平方根，因为
  
    
      
        
          4
          
            2
          
        
        =
        (
        −
        4
        
          )
          
            2
          
        
        =
        16
      
    
    {\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16}
  
。
任意非負實數
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
都有唯一的非負平方根，称为算术平方根或主平方根（英語：principal square root），記為
  
    
      
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}}
  
，其中的符号
  
    
      
        
          
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\quad }}}
  
称作根号。例如，9的算术平方根为3，记作 
  
    
      
        
          
            9
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {9}}=3}
  
，因为
  
    
      
        
          3
          
            2
          
        
        =
        3
        ×
        3
        =
        9
      
    
    {\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9}
  
并且3非负。被求平方根的数称作被开方数（英語：radicand），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。
正数
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
有兩個互为相反数的平方根：正数
  
    
      
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}}
  
与负数
  
    
      
        −
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\sqrt {x}}}
  
，可以将两者一起记为
  
    
      
        ±
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}
  
。
負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其“平方根”（例如矩陣的平方根）。

在Microsoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。


历史
耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  
的六十进制数字 1;24,51,10。六十进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。
莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。
古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。
古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作m/n，其中m和n是整数）。
中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。
古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。
中世紀時，拉丁語中的latus（正方形邊）的首個字母“L”被不少歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫，在被開方的數下畫一線。
最有影響的是拉丁語的radix（平方根），1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；⎷（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小寫r的變型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人們熟知的开方运算符号
  
    
      
        
          
            
              



## 统计
统计学是一门收集数据、分析数据，并根据数据进行推断的艺术和科学。最初与政府收集的数据有关，现在包括了范围广泛的方法和理论。該学科自17世纪中叶产生并逐步发展起来，廣泛地應用在各門學科，從自然科学、社會科學到人文學科，甚至被用於工商業及政府的情報決策。隨著大数据時代來臨，統計的面貌也逐漸改變，與資訊、計算等領域密切結合，是數據科學中的重要主軸之一。
譬如自一組數據中，可以摘要並且描述這份數據的集中和離散情形，這個用法稱作為描述統計學。另外，觀察者以數據的形態，建立出一個用以解釋其隨機性和不確定性的數學模型，以之來推論研究中的步驟及母體，這種用法被稱做推論統計學；這兩種用法都可以被稱作為應用統計學。數理統計學则是討論背後的理論基礎的學科。


总览

很多人认为统计学是一种科学的数学分支，是关于收集、分析、解释、陈述数据的科学。另一些人认为它是数学的一个分支，因为统计学是关于收集解释数据的。由于它基于观测、重视应用，统计学常被看作是一门独特的数学科学，而不是一个数学分支。很多统计学都不是数学的：如确保所收集来的数据能得出有效的结论；将数据编码、存档以使得信息得以保存，可以在国际上进行比对；汇报结果、总结数据，以便统计员可以明白它们的意思；采取必要措施，保护数据来源对象的隐私。
统计学家通过专门的试验设计和调查样本来提升数据质量。统计学自身也为数据的概率模型提供了预测工具。统计学在其他学术科目上得到了广泛的应用，如自然科学、社会科学、政府、商业等。统计顾问可以帮助没有入户调查经验组织与公司进行问卷研究。
总结敘述收集来的数据被称之为描述統計學。这在进行实验研究信息交流中十分有用。另外，从数据的分布上也可以得出观测上的随机性和不确定性。
將資料中的數據模型化，計算它的機率並且做出對於母群體的推論被称之为推論統計學。推論是科学进步的重要因素，因为它可能从随机变量中得出数据的结论。推論統計學将命题进行更深入的研究，将结果进行检测。这些都是科学方式的一部分。描述統計學和对新数据的分析更倾向于提供更多的信息，逼近命题所述的真理。
“应用统计学”包括描述統計學和推論統計學中的应用成分。理论统计学则注重统计推论背后的逻辑证明，以及数理统计学。数理统计学不但包括推导估测推论法的概率分布，还包括了计算统计和试验设计。
统计学与概率论联系紧密，并常以后者为理论基础。简单地讲，两者不同点在于概率论从母群體中推导出样本的概率。统计推论则正好相反——从小的样本中得出大的母群體的信息。


歷史
统计手法最早可以追溯至公元前5世纪。最早的统计著作来自公元9世纪的《密码破译》（Manuscript on Deciphering Cryptographic Messages）一书，由阿拉伯人肯迪编著。在书中，肯迪详细记录了如何使用统计数据和频率分析进行密码破译。根据沙特阿拉伯工程师易卜拉欣·阿凯笛（Ibrahim Al-Kadi）的说法，统计学和密码学分析便如此一同诞生了

佛罗伦萨银行家、执政官乔瓦尼·维拉尼编订了佛罗伦萨14世纪历史书籍Nuova Cronica ,包括了如人口、法令、商贸、教育、宗教场所在内的统计数据，被誉之为历史上统计学入门的第一本书。一些学者将1663年约翰·格兰特根据死亡率统计表编订出版的《自然与政治观察》（Natural and Political Observations）一书定格为统计学的诞生。 
統計學的英语词statistics是源於現代拉丁语statisticum collegium（國會）以及義大利语statista（國民或政治家）。德语Statistik，最早是由Gottfried Achenwall（1749）所使用，代表對國家的資料進行分析的學問，也就是“研究國家的科學”。在十九世紀統計學在廣泛的數據以及資料中探究其意義，並且由John Sinclair引進到英語世界。
統計學的初衷是作為政府（通常是中央政府）以及管理階層的工具。它大量透過國家以及國際統計服務蒐集國家以及本土的資料。另外依照各方面，普查則提供關母體的資訊。統計背後牽涉到更多數學導向的領域，如機率，或是從經驗科學（特別在天文學）中獲得的經驗證據設定估計參數。在今日的世界裡統計已經被使用在不僅僅是國家或政府的事務，更延伸到商業，自然以及社會科學，醫療等甚至更多方面。因為統計學擁有深厚的歷史以及廣泛的應用性，統計學通常不只被認為是數學所處理的對象，而是與數學本身的哲學定義與意義有密切的關聯。許多知名的大學擁有獨立的數理統計學系。統計學也在如心理學，教育学以及公共衛生學系中被視為是一門主科。
统计学的数学基础建立在17世纪布莱兹·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬发展的概率论上。概率论从研究几率得来。最小二乘法由卡爾·弗里德里希·高斯于1794年第一次得出。现代计算机可以进行更大尺度的统计运算，生成了许多无法用人工计算的新公式。


統計學的觀念

為了將統計學應用到科學、工業以及社會問題上，我們由研究总体開始。這可能是一個國家的人民，石頭中的水晶，或者是某家特定工廠所生產的商品。一個母群體甚至可能由許多次同樣的觀察程序所組成;由這種資料蒐集所組成的母群體我們稱它叫時間序列。
為了實際的理由，我們選擇研究母群體的子集代替研究母群體的每一筆資料，這個子集稱做樣本。以某種經驗設計實驗所蒐集的樣本叫做資料。資料是統計分析的對象，並且被用做兩種相關的用途：描述和推論。

描述統計學處理有關敘述的問題：是否可以摘要的說明資料的情形，不論是以數學或是圖片表現，以用來代表母群體的性質？基礎的數學描述包括了平均數和標準差等。圖像的摘要則包含了許多種的表和圖。主要是就說明資料的集中和離散情形。
推論統計學被用來將資料中的數據模型化，計算它的機率並且做出對於母群體的推論。這個推論可能以對/錯問題的答案所呈現（假設檢定），對於數字特徵量的估計（估計），對於未來觀察的預測，關聯性的預測（相關性），或是將關係模型化（迴歸）。其他的模型化技術包括變異數分析，時間序列，以及数据挖掘。
相關的觀念特別值得被拿出來討論。對於資料集合的統計分析可能顯示兩個變數（母群體中的兩種性質）傾向於一起變動，好像它們是相連的一樣。舉例來說，對於人收入和死亡年齡的研究期刊可能會發現窮人比起富人平均來說傾向擁有較短的生命。這兩個變數被稱做相關的。但是實際上，我們不能直接推論這兩個變數中有因果關係;參見相關性推論因果關係（邏輯謬誤）。
如果樣本足以代表母群體的，那麼由樣本所做的推論和結論可以被引申到整個母群體之上。最大的問題在於決定樣本是否足以代表整個母群體。統計學提供了許多方法來估計和修正樣本和蒐集資料過程中的隨機性（誤差），如同上面所提到的透過經驗所設計的實驗。參見實驗設計。
要了解隨機性或是機率必須具備基本的數學觀念。數理統計（通常又叫做統計理論）是應用數學的分支，它使用機率論來分析並且驗證統計的理論基礎。
任何統計方法是有效的只有當這個系統或是所討論的母群體滿足方法論的基本假設。誤用統計學可能會導致描述面或是推論面嚴重的錯誤，這個錯誤可能會影響社會政策，醫療實踐以及橋樑或是核能發電計畫結構的可靠性。
即使統計學被正確的應用，結果對於不是專家的人來說可能會難以陳述。一些統計科


## 概率
概率（香港作機率，台湾作機率，舊稱幾率，又称機會率或或然率），是对随机事件发生之可能性的度量，为数学概率论的基本概念；機率的值是一个在0到1之间的实数，也常以百分數來表示。
概率常用來量化對於某些不確定命題的想法，命題一般會是以下的形式：「某個特定事件會發生嗎？」，對應的想法則是：「我們可以多確定這個事件會發生？」。確定的程度可以用0到1之間的數值來表示，這個數值就是機率。因此若事件發生的機率越高，表示我們越認為這個事件可能發生。像抛硬币就是一個簡單的例子，正面朝上及背面朝上的兩種結果看來機率相同，每個的機率都是1/2，也就是正面朝上及背面朝上的機率各有50%。
這些概念可以形成機率論中的數學公理（參考概率公理），在像數學、統計學、金融、博弈論、科學（特別是物理）、人工智慧/機器學習、電腦科學及哲學等學科中都會用到。機率論也可以描述複雜系統中的內在機制及規律性。
應用到具體問題，「概率」常常被用來視作是對某一事件是否發生（過）的「推測」。這種涵義下，在宏觀世界（非量子力學情況）中，概率來源於信息的缺失，有效信息越多，對某一事件發生的把握度（概率）就越大，直至「必然發生」——例如理論上知道拋一枚硬幣時的位置、受力情況，便可以計算出落下時正面還是反面，所知參數越精確，算得概率就能越接近1。但「混沌效應」仍然會制約所得概率的大小。


历史
第一位系统性地推算概率的人是16世紀的卡爾達諾，记载在他的著作《關於機率遊戲之書（Liber de Ludo Aleae）》中；书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译来的。
卡爾達諾的著作中有很多给赌徒的建议，都写成短文，例如：《谁，在什么时候，应该赌博？》、《为什么亚里士多德谴责赌博？》、《那些教别人赌博的人是否也擅长赌博呢？》等。
然而，卡爾達諾的書要等到他死後八十餘年（1663年）才出版。首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中，最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevalier de Méré提出的问题。Chevalier de Méré是一知名作家，路易十四宫廷的显要，也是一名狂热的赌徒；问题主要有两个：掷骰问题和比赛奖金应分配问题。


概念
在日常生活中，我們常常會遇到一些涉及可能性或發生機會等概念的事件（event）。一個事件的可能性或一個事件的發生機會是與數學有關的。例如：
「從一班40名學生中隨意選出一人，這人是男生嗎？」
事實上，人們問「……可能會發生嗎？」時，他們是在關注這個事件發生的機會。在數學上，事件發生的機會可用一個數來表示，稱該數為概率（Probability）。
我們日常所見所聞的事件大致可分為兩種：
一种是确定性事件，其中又包含必然事件和不可能事件，如太陽從東方升起，或者在標準大氣壓下，水在100℃時會沸騰，我們稱這些事件為必然事件；如掷一个點數只有1到6的骰子，向上一面的数字是7，这類事件稱为不可能事件。
此外，有大量事件在一定條件下是否發生，是無法確定的。如明天的氣溫比今天低、擲一枚硬幣得正面向上，又或者在下一年度的NBA比賽中，芝加哥公牛隊會奪得全年總冠軍，像以上可能發生也可能不會發生的事件稱為隨機事件。


理論

機率論是一種用正式的用語表達機率概念的方式，這些詞語可以用數學及邏輯的規則處理，結果再轉換到和原來問題有關的領域。
至少有兩種成功的將機率公式化的理論，分別是柯爾莫哥洛夫公式化以及考克斯公式化。在柯爾莫哥洛夫公式化（參考概率空間）中，用集合代表事件，機率則是對集合的测度。在考克斯定理中，機率是不能再進一步分析的基元，強調在機率值及命題之間建立一致性的關係。在二種公式化方法中，概率公理都相同，只有一些技術細節不同。
有其他量度不確定性的方式，例如Dempster-Shafer理論或是可能性理論，但兩者都有本質上的不同，無法和一般了解的機率論相容。


應用
概率的概念常常應用在生活中，例如風險評估及以金融市場的交易等。政府也在環境法中應用概率，稱為路徑分析（pathway analysis）。例如中東衝突可能會對油價有某程度的影響，而油價對世界經濟可能會有漣漪效應的影響。某個油品交易商認為中東衝突會使油價上昇或下降，並將他的意見提供給其他交易商。因此機率不是各自獨立的進行評估，評估的過程也不一定合理。行為經濟學就是描述團體迷思對定價、政策甚至和平或衝突的影響。
有關概率評估及組合的嚴謹方式也改變了社會。對大部份的社會大眾而言，重要的是了解概率評估的方式以及概率和決策之間的關係。
概率理論另一個明顯的應用是可靠度理論。像汽車及消費性產品會在產品開發時應用可靠度理論來減少產品失效的機率。失效機率會影響廠商在產品保用證上的決策。
像自然语言处理中用的快取語言模型及其他語言模型等也屬於是概率理論的應用。


數學處理

事件A的機率一般會寫成P(A)、p(A)或Pr(A)。機率的數學概念可延伸到無限的樣本空間甚至不可數的樣本空間，但需要用上概率测度的概念。
概率的公理化定义将概率的相关范畴从具体问题中抽象出来，从而可以在数学意义下考察概率的相关概念和由之引出的问题。以下给出概率的公理化定义：
设随机事件的样本空间为Ω，Ω的一個子集稱為事件。对于Ω中的每一个事件A，都有实函数P(A)，满足：

非负性：
  
    
      
        P
        (
        A
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle P(A)\geq 0}
  
；
规范性：
  
    
      
        P
        (
        Ω
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle P(\Omega )=1}
  

可數可加性：对可數个两两互斥事件{Ai}i∈N有：
  
    
      
        
          
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                ∞
              
            
            P
            (
            
              A
              
                i
              
            
            )
            =
            P
            
              (
              
                
                  ⋃
                  
                    i
                    =
           


## 平均数
平均数（英語：Mean, Average，或稱平均值）是统计中的一个重要概念。为集中趋势的最常用测度值，目的是确定一组数据的均衡点。


概述
在统计中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，它是描述数据集中程度的一个统计量。我们既可以用它来反映一组数据的一般情况，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。用平均数表示一组数据的情况，有直观、简明的特点，所以在日常生活中经常用到，如平均的速度、平均的身高、平均的产量、平均的成绩、平均的氣溫等。


不適用的狀況
不是所有類型的資料都適合使用平均數。在沒有充分考慮個體和群體分布性質的狀況下，平均數可以因為受到極端值的影響，而能得出毫無意義或無法反映現實分布的結果，例如假設有5個人的月薪分別有2個人是2萬2、還有3人分別為3萬、4萬5千、及20萬，以平均值計算為6萬3千8，但實際上有4個人的薪資低於此數值，而第4個人的薪資也才4萬5千，遠低於6萬3千8，此數目也不是任何一人的薪資，在考慮貧富差距持續擴大的大背景下，如果統計機構只發布有關收入與財富分布之平均數，多數民眾是無感的，因為此平均數嚴重偏離自身狀況與實際狀況，網路上之「男人和女人平均有一顆睪丸」與「對不起，是我拉低了平均薪資！」等調侃語句，也是描述此種平均值嚴重偏離實際情形的狀況因此，也才有由低排到高取中間值的中位數的出現。平均数適合用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据。


平均數列表
算术平均数：
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 个数据相加后除以 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
。
算术平均数（或简称平均數）是一组样本 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  
 的和除以样本的数量。其通常记作 
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}}
  
：

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                x
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
  

像例如說
  
    
      
        4
        ,
        36
        ,
        45
        ,
        50
        ,
        75
      
    
    {\displaystyle 4,36,45,50,75}
  
 这组数的算术平均数是：

  
    
      
        
          
            
              4
              +
              36
              +
              45
              +
              50
              +
              75
            
            5
          
        
        =
        
          
            210
            5
          
        
        =
        42
      
    
    {\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42}
  

几何平均数：
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 個數據相乘後開 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 次方。
调和平均数：
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 個數據的倒數取算术平均，再取倒數。
平方平均数（也称“方均根”）：
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 個數據的平方取算數平均，再開根號。
移动平均数：在股票交易中广泛运用。数学上，移动平均可视为一种卷积。
算术-几何平均数
幾何-調和平均數
平均論對平均數的一般性理論，足以涵蓋上述的平均數。
相關的公式如下：

  
    
      
        
          
          


## 中位数
統計學上，中位數（英語：Median），又稱中央值、中值，是一個樣本、種群或概率分佈中之一個數值，其可將數值集合劃分爲数量相等的上下兩部分。對於有限的數集，可以通過把所有觀察值高低排序後找出正中間的一個作爲中位數。如果觀察值有偶數個，則中位數不唯一，通常取最中間的兩個數值的平均數作爲中位數。
一個數集中最多有一半的數值小於中位數，也最多有一半的數值大於中位數。如果大於和小於中位數的數值個數均少於一半，那麽數集中必有若干值等同於中位數。
设连续随机变量 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 的分布函数为 
  
    
      
        F
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle F(X)}
  
，那么满足条件 
  
    
      
        P
        (
        X
        ≤
        m
        )
        =
        F
        (
        m
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle P(X\leq m)=F(m)={\frac {1}{2}}}
  
 的数称为 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  
 或分布 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
 的中位数。
对于一组有限个数的数据来说，其中位数是这样的一种数：这群数据的一半的数据比它大，而另外一半数据比它小。
计算有限个数的数据的中位数的方法是：把所有的同类数据按照大小的顺序排列。如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。


公式
實數
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
  
按大小順序（順序，降序皆可）排列為
  
    
      
        
          x
          
            1
          
          ′
        
        ,
        
          x
          
            2
          
          ′
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle x'_{1},x'_{2},\dots ,x'_{n}}
  
、
實數數列
  
    
      
        x
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}
  
的中位數 
  
    
      
        
          
            Q
          
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {Q} _{\frac {1}{2}}(x)}
  
 為

  
    
      
        
          
            Q
          
          
            
              1
              2
            
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    x
                    
                      
                        
                          n
                          +
                          1
                        
                        2
                      
                    
                    ′
                  
                  ,
                
                
                  
                    
                      if 
 


## 众数
众数可以指：

众数 (语法)，又稱複數。
众数 (数学)，指一組數據中出現次數最多的變數值，英語叫 Mode。


## 负数
负数（英文：Negative number），在数学上指小于0的实数，如−2、−3.2和−807.5，与正数相对。负數本身是一個不可數的無限集合。這個集合在数学上通常用粗體R−或
  
    
      
        
          
            R
          
          
            −
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
  
来表示。负数与0统称非正数。


负数的历史
负整数可以被认为是自然数的扩展，使得等式
  
    
      
        x
        −
        y
        =
        z
      
    
    {\displaystyle x-y=z}
  
对任意
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
和
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
都有意义。相对而言，其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。
负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如，在会计学上，它可以被用来表示負債，而且通常以紅色表示（若不帶負數符號則加上括號），所以又稱「赤字」。
自从漢代，中国数学家就已经了解負數和零的概念了。 公元1世纪的《九章算術》说“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”（這段話的大意是“减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。”）。以上文字里的“無入”通常被数学历史家认为是零的概念。
尽管中国古人首先发现并应用了负数，但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质，这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义，和其根本属性的讨论，是由近代西方数学家首先完成的。
西方最早在数学上使用负数的文獻紀錄，是由古印度數學家婆羅摩笈多於公元628年完成的《婆罗摩历算书》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪才接受负数的概念。


符号函数
在实数上可以定义这样一个函数
  
    
      
        sgn
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}
  
，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：

  
    
      
        sgn
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          {
          
            
              
                
                  −
                  1
                
                
                  :
                  x
                  <
                  0
                
              
              
                
                  
                  0
                
                
                  :
                  x
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                  1
                
                
                  :
                  x
                  >
                  0
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}
  

当
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
不为 0 时，则有：

  
    
      
        sgn
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
            
              
                |
              
              x
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                |
              
              x
              
                |
              
            
            x
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                
                  |
                
                x
                
                  |
                
              
            
            
              d
              
                x
              
            
  


## 相反数
加法逆元（additive inverse）又稱相反數（opposite）、反数，其定義是對於任意數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
，存在相反数滿足其與
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的和為零（加法單位元）；
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
 的加法逆元表示為 
  
    
      
        −
        a
      
    
    {\displaystyle -a}
  
。
在實數中，數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的相反數
  
    
      
        −
        a
      
    
    {\displaystyle -a}
  
，稱為其加法逆元；相對地，數
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的倒數
  
    
      
        
          
            1
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{a}}}
  
或
  
    
      
        
          a
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{-1}}
  
，則稱為其乘法逆元。


一般定義
設「+」為一個交換性的二元運算，即對於所有
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  
, 
  
    
      
        x
        +
        y
        =
        y
        +
        x
      
    
    {\displaystyle x+y=y+x}
  
。若該集合中存在一個元素
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  
，使得對於所有
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
, 
  
    
      
        x
        +
        0
        =
        0
        +
        x
        =
        x
      
    
    {\displaystyle x+0=0+x=x}
  
，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
，存在一個
  
    
      
        
          x
          ′
        
      
    
    {\displaystyle x'}
  
使得
  
    
      
        x
        +
        
          x
          ′
        
        =
        
          x
          ′
        
        +
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x+x'=x'+x=0}
  
，則稱
  
    
      
        
          x
          ′
        
      
    
    {\displaystyle x'}
  
是
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的加法逆元。


特殊情況


定義
若「+」滿足結合律，則任意數的加法逆元是唯一的。


證明
反證法：
設
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
有兩個相異的加法逆元
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
  
、
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  

有
  
    
      
        x
        =
        x
        +
        0
      
    
    {\displaystyle x=x+0}
  
 的關係。
⇒ 
  
    
      
        0
        =
        x
        +
        
          x
          
            1
          
        
        =
        x
        +
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}}
  

⇒ 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}}
  

產生矛盾，證訖。


例
向量空間：純量


## 倒数
倒（dào）数（英語：reciprocal）又稱乘法逆元（multiplicative inverse）、乘法逆元素，在数学中，是与其原数相乘为1的数；即某数
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
的倒数，是一個与
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  
相乘的积为1的数，记为
  
    
      
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{x}}}
  
或
  
    
      
        
          x
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{-1}}
  
。
在抽象代数中，倒数所对应的抽象化概念是乘法群的某个元素的“乘法逆”，也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素。
汉语中，名词倒数一般用来表示数字的乘法逆，一般在各种数域如：有理数、实数、复数，以及模n的同余类所构成的乘法群中使用。在复数域（实数域）中，每个除了0以外的复数（实数）都存在倒数：只要用某个数自身除1（也就是说用1除以某个数），即可得到它的倒数。用数学记号表示的话：

一个非零的复数（实数）
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
的倒数定义为使得
  
    
      
        a
        ×
        b
        =
        b
        ×
        a
        =
        1
      
    
    {\displaystyle a\times b=b\times a=1}
  
成立的复数（实数）
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，记作
  
    
      
        b
        =
        
          
            1
            a
          
        
        =
        
          a
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\frac {1}{a}}=a^{-1}}
  

例如，
  
    
      
        
          
            3
            8
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{8}}}
  
的倒数是
  
    
      
        
          
            8
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {8}{3}}}
  
，因为
  
    
      
        
          
            3
            8
          
        
        ×
        
          
            8
            3
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {3}{8}}\times {\frac {8}{3}}=1}
  

每个复数（实数）只有一个倒数。一般来说，并不是对所有的代数结构中的乘法运算，每个元素都存在其乘法逆，如对矩阵乘法来说，秩小于阶数的矩阵就没有乘法逆，或者在环
  
    
      
        
          Z
          
            39
          
        
      
    
    {\displaystyle Z_{39}}
  
中，元素3和18也沒有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元，而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子，或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环。


負倒數
乘積為-1的兩個實數互為負倒數，實數x的負倒數記為
  
    
      
        −
        
          
            1
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {1}{x}}}
  
或
  
    
      
        −
        
          x
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle -x^{-1}}
  
。一個實數的倒數和其負倒數是相反數，而0沒有倒數或負倒數。


参考资料


参见

乘法
除法
双曲线


注释


## 科学记数法
科学记数法（英語：scientific notation）又稱科学记号或科學記法，是一种记录或标志数的科学表示法，可用来表示由于太大或太小而不能方便地用十进制表示的数，因为这样做需要写出一串异常长的数字。科学家、数学家和工程师普遍使用这种以10为底数的表示法，部分原因是它可以简化某些算术运算。在科学计算器上，通常使用“SCI”作为显示模式。科学记数法最早由阿基米德提出。

在科学记数法中，一個數被寫成一個實數
  
    
      
        a
        
      
    
    {\displaystyle a\,}
  
與一個10的
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
次幂的積：

  
    
      
        a
        ×
        
          10
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle a\times 10^{n}\,}
  

其中：

  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
必須是一個整數

  
    
      
        1
        ≤
        
          |
        
        a
        
          |
        
        <
        10
      
    
    {\displaystyle 1\leq |a|<10}
  
（如果 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        
      
    
    {\displaystyle |a|\,}
  
 是一個小於1的小數，或 
  
    
      
        
          |
        
        a
        
          |
        
        
      
    
    {\displaystyle |a|\,}
  
 大於等于10，皆可通过改變 
  
    
      
        n
        
      
    
    {\displaystyle n\,}
  
 來表示），

  
    
      
        a
        
      
    
    {\displaystyle a\,}
  
是一個實數，可稱為有效數或尾數（英語：mantissa，在一些討論浮點數或对数的文獻中，亦使用尾數這個詞，但定義與範圍不一定相同，因此加以說明，以避免混淆）。


例子
在电脑或计算器中一般用EXP或E（exponential）来表示10的幂：

7.823E+5=782300
1.2e−4=0.00012


優點
當我們要表示非常大或非常小的數時，如果用一般的方法，將一個數的所有位數都寫出來，會很難直接確知它的大小，還會浪費很多空間。但若使用科学记数法，一個数的数量级、精确度和数值都較容易看出，例如於化學裡，以公克表示一個質子質量的數值為︰

  
    
      
        0.00000000000000000000000167262158
      
    
    {\displaystyle 0.00000000000000000000000167262158}
  

但如果將它轉成科学记数法的形式，便可不需要寫那麼多零︰

  
    
      
        1.67262158
        ×
        
          10
          
            −
            24
          
        
      
    
    {\displaystyle 1.67262158\times 10^{-24}}
  

又例如，若以公斤為表示單位，則木星的質量值約為：

  
    
      
        1898130000000000000000000000
      
    
    {\displaystyle 1898130000000000000000000000}
  

像這樣的大数亦无法直接用列出所有位數的方式表达出精确度，但科学记数法就能用下方形式明白的表示出來：

  
    
      
        1.89813
        ×
        
          10
          
            27
          
        
        
      
    
    {\displaystyle 1.89813\times 10^{27}\,}
  


基本计算
假设有两个以科学记数法表示的数字：

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                ×
                
                  10
                  
                    
                      b
                      
                        1
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                
                  x
                  
            


## 相似三角形
如圖，三個對應的內角的角度都一樣（但邊長大小无需一樣）的兩個三角形，或：对应角相等，对应边成比例的两个三角形稱為「相似三角形（similar triangles）」，其对应边之比称为相似比；两个相似比为 1 的相似三角形称为全等三角形。

下列三對邊長，稱為「對應邊」

  
    
      
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
        
        
          
            
              D
              E
            
            ¯
          
        
        ,
        
          
            
              B
              C
            
            ¯
          
        
        
        
          
            
              E
              F
            
            ¯
          
        
        ,
        
          
            
              C
              A
            
            ¯
          
        
        
        
          
            
              F
              D
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AB}}\;{\overline {DE}},{\overline {BC}}\;{\overline {EF}},{\overline {CA}}\;{\overline {FD}}}
  

下列三對角，稱為「對應角」

  
    
      
        ∠
        A
        
        ∠
        D
        ,
        ∠
        B
        
        ∠
        E
        ,
        ∠
        C
        
        ∠
        F
      
    
    {\displaystyle \angle A\;\angle D,\angle B\;\angle E,\angle C\;\angle F}
  

當兩個三角形相似時，我們利用下面的符號來表示：

  
    
      
        △
        A
        B
        C
        ∼
        △
        D
        E
        F
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle DEF}
  

利用上面的符號表示時，必須保持對應角的正確順序，不可隨意排列。


判定
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三边成比例的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。（注意：与全等类似，两个三角形若两边成比例、且另一角（非夹角）相等，则并不一定相似。）
两角分别相等的两个三角形相似
如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。
两个直角三角形任兩邊（兩股，或斜邊與一股）成比例则相似。


性質


對应角相等
若兩個三角形相似，則三個對應角相等。

  
    
      
        ∠
        A
        =
        ∠
        D
        ,
        ∠
        B
        =
        ∠
        E
        ,
        ∠
        C
        =
        ∠
        F
      
    
    {\displaystyle \angle A=\angle D,\angle B=\angle E,\angle C=\angle F}
  

若2個三角形相似，則三個對應邊長成比例。除此之外，两三角形对应的中线、高、角平分线、周长均成比例，面积比是相似比的平方。

  
    
      
        
          
            
              
                A
                B
              
              ¯
            
            
              
                D
                E
              
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              
                B
                C
              
              ¯
            
            
              
                E
                F
              
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              
                C
                A
              
              ¯
            
            
              
                F
                D
              
              ¯
            
          
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {DE}}}={\frac {\o


## 全等三角形
全等三角形指兩個全等的三角形，它們的三條邊及三個角都應對等。全等三角形是幾何中全等之一。根據全等轉換，兩個全等三角形可以平移、旋轉、軸對稱，或重疊等。
全等的數學符號為：
  
    
      
        ≅
      
    
    {\displaystyle \cong }
  

当使用该符号时，需保证符号两边的角、边一一对应。


定義
當有兩個或以上的三角形的對應邊及角，完全相等，便是全等三角形。

  
    
      
        △
        A
        B
        C
        ≅
        △
        X
        Y
        Z
        
        
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle XYZ\,\!}
  


性質

全等三角形有以下性質：

它們的對應邊相等。
它們的對應角相等。
若三角形ABC與三角形DEF全等時（如右圖），表示為：

  
    
      
        △
        A
        B
        C
        ≅
        △
        D
        E
        F
        
        
      
    
    {\displaystyle \triangle ABC\cong \triangle DEF\,\!}
  

下列三對邊長為「對應邊」：

  
    
      
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
        
        
          
            
              D
              E
            
            ¯
          
        
        ,
        
          
            
              B
              C
            
            ¯
          
        
        
        
          
            
              E
              F
            
            ¯
          
        
        ,
        
          
            
              A
              C
            
            ¯
          
        
        
        
          
            
              D
              F
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AB}}\;{\overline {DE}},{\overline {BC}}\;{\overline {EF}},{\overline {AC}}\;{\overline {DF}}}
  

下列三對角為「對應角」：

  
    
      
        ∠
        A
        
        ∠
        D
        ,
        ∠
        B
        
        ∠
        E
        ,
        ∠
        C
        
        ∠
        F
      
    
    {\displaystyle \angle A\;\angle D,\angle B\;\angle E,\angle C\;\angle F}
  

同時，所有對應邊長及角度均相等：

  
    
      
        ∠
        B
        A
        C
        =
        ∠
        E
        D
        F
        
        
      
    
    {\displaystyle \angle BAC=\angle EDF\,\!}
  

  
    
      
        ∠
        A
        B
        C
        =
        ∠
        D
        E
        F
        
        
      
    
    {\displaystyle \angle ABC=\angle DEF\,\!}
  

  
    
      
        ∠
        A
        C
        B
        =
        ∠
        D
        F
        E
        
        
      
    
    {\displaystyle \angle ACB=\angle DFE\,\!}
  

  
    
      
        
          
            
              A
              B
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              D
              E
            
            ¯
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {DE}}\,\!}
  

  
    
      
        
          
            
              A
              C
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              D
              F
            
            ¯
  


## 平行线
平行是一个几何学术语。在平面几何中，永远不会相交的多条直线，或者多个平面彼此互相平行。在欧几里得几何中，由平行公设，一个平面上的直线外指定一个点，就能指定出一条与它平行的直线。在非欧几何中，根据空间曲率的不同，在一条直线外指定一个点可以作多条或零条与它平行的直线。
在三维空间或一般的欧几里得空间中，直线或平面的平行关系视乎其方向向量或法向量，但與二維平面一樣，在一条直线外面指定一个点也只能表示一条与它平行的直线，并且在一个平面外指定一个点也只能指定一個与它平行的平面。然而，在一个平面外指定一个点可以指定和它平行的直线是无数条（这些直线都在与它平行的唯一一个平面上）。


平行线
在欧几里得空间中，直线的方向向量是一个单位向量
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
，使得原点到直线上所有点的向量都能表示为
  
    
      
        a
        +
        λ
        b
        ,
         
        λ
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle a+\lambda b,\ \lambda \in \mathbb {R} }
  
。若干个由方向向量
  
    
      
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          v
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}}
  
 确定的直线相互平行当且仅当这些向量全部相等或只差一个正負号。
在欧几里得空间中，平面的法向量是一个单位向量
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
，使得平面上所有的向量都与
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  
垂直。直线与平面平行当且仅当直线不属于平面，并且直线的方向向量与平面的法向量垂直。而平面与平面相互平行当且仅当它们的法向量相等或只差一个正負号。


平面解析几何中的平行
在笛卡儿坐标系中，设两条直线的表达式为：

  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            1
          
        
        )
        :
        
          a
          
            1
          
        
        x
        +
        
          b
          
            1
          
        
        y
        +
        
          c
          
            1
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0}
  

  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            2
          
        
        )
        :
        
          a
          
            2
          
        
        x
        +
        
          b
          
            2
          
        
        y
        +
        
          c
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0}
  

那么两条直线
  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1})}
  
 与
  
    
      
        (
        
          
            
              D
            
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2})}
  
 平行当且仅当
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          b
          
            1
          
        
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}b_{2}=b_{1}a_{2


## 轴对称
對稱軸或線對稱指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合。更廣泛的對稱形式為旋轉對稱。


对称轴
若函数
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
有对称轴且为
  
    
      
        A
        x
        +
        B
        y
        +
        C
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Ax+By+C=0}
  
，则有
  
    
      
        y
        −
        2
        B
        
          
            
              A
              x
              +
              B
              y
              +
              C
            
            
              
                A
                
                  2
                
              
              +
              
                B
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        f
        (
        x
        −
        2
        A
        
          
            
              A
              x
              +
              B
              y
              +
              C
            
            
              
                A
                
                  2
                
              
              +
              
                B
                
                  2
                
              
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y-2B{\frac {Ax+By+C}{A^{2}+B^{2}}}=f(x-2A{\frac {Ax+By+C}{A^{2}+B^{2}}})}
  


相關主題
點對稱


参考资料


## 中心对称
在数学中，中心对称是几何图形的一种性质。


中心对称
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。这个点称为对称中心。
若
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
  
有对称中心，待定
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
  
使
  
    
      
        2
        b
        −
        y
        =
        f
        (
        2
        a
        −
        x
        )
      
    
    {\displaystyle 2b-y=f(2a-x)}
  
成立，则
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)=(a,b)}
  
为其对称中心。
例如
  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            3
          
        
        −
        3
        
          x
          
            2
          
        
        +
        6
        x
        −
        7
      
    
    {\displaystyle y=x^{3}-3x^{2}+6x-7}
  

  
    
      
        2
        b
        −
        y
        =
        (
        2
        a
        −
        x
        
          )
          
            3
          
        
        −
        3
        (
        2
        a
        −
        x
        
          )
          
            2
          
        
        +
        6
        (
        2
        a
        −
        x
        )
        −
        7
      
    
    {\displaystyle 2b-y=(2a-x)^{3}-3(2a-x)^{2}+6(2a-x)-7}
  

  
    
      
        y
        =
        
          x
          
            3
          
        
        +
        (
        3
        −
        6
        a
        )
        
          x
          
            2
          
        
        +
        (
        12
        
          a
          
            2
          
        
        −
        12
        a
        +
        6
        )
        x
        +
        (
        2
        b
        +
        7
        −
        8
        
          a
          
            3
          
        
        +
        12
        
          a
          
            2
          
        
        −
        12
        a
        )
      
    
    {\displaystyle y=x^{3}+(3-6a)x^{2}+(12a^{2}-12a+6)x+(2b+7-8a^{3}+12a^{2}-12a)}
  

  
    
      
        a
        =
        1
        ,
        b
        =
        −
        3
      
    
    {\displaystyle a=1,b=-3}
  
，对称中心为
  
    
      
        (
        1
        ,
        −
        3
        )
      
    
    {\displaystyle (1,-3)}
  


中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形。这个点就是对称中心。


中心对称图形的性质
关于中心对称的两个图形是全等图形
关于中心对称的两个图形,对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.


参考资料


## 平移
在仿射幾何，平移（translation）是將物件的每點向同一方向移動相同距離。
它是等距同構，是仿射空間中仿射變換的一種。它可以視為將同一個向量加到每點上，或將坐標系統的中心移動所得的結果。即是說，若
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
  
是一個已知的向量，
  
    
      
        
          p
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} }
  
是空間中一點，平移
  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        (
        
          p
        
        )
        =
        
          p
        
        +
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }(\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {v} }
  
。
將同一點平移兩次，結果可用一次平移表示，即
  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        (
        
          T
          
            
              u
            
          
        
        (
        
          p
        
        )
        )
        =
        
          T
          
            
              v
            
            +
            
              u
            
          
        
        (
        
          p
        
        )
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }(T_{\mathbf {u} }(\mathbf {p} ))=T_{\mathbf {v} +\mathbf {u} }(\mathbf {p} )}
  
，因此所有平移的集是一個群，稱為平移群。這個群和空間同構，又是歐幾里德群E(n)的正规子群。
T對E的商群與正交群O(n)同構：E(n) / T = O(n)。


矩陣表示
例如在三維空間，使用齐次坐标，
  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{\mathbf {v} }}
  
可用矩陣表示為

  
    
      
        
          T
          
            
              v
            
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    v
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  
                    v
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  
                    v
                    
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                


## 旋转
旋转在几何和线性代数中是描述刚体围绕一个固定点的运动的在平面或空间中的变换。旋转不同于没有固定点的平移，和翻转变换的形体的反射。旋转和上面提及的变换是等距的，它们保留在任何两点之间的距离在变换之后不变。


二维空间

在讨论旋转的时候理解参照系是重要的。一种观点来看，你可以保持坐标轴固定旋转向量。而从另一观点出发，你可以保持向量固定旋转坐标系。
在第一种观点看来，坐标或向量关于原点的逆时针旋转；或者从第二种观点看来，平面或轴关于原点的顺时针旋转。这里的
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
被旋转了
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
并希望知道旋转后的坐标
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y')}
  
:

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    ′
                  
                
              
              
                
                  
                    y
                    ′
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  θ
                
                
                  −
                  sin
                  ⁡
                  θ
                
              
              
                
                  +
                  sin
                  ⁡
                  θ
                
                
                  cos
                  ⁡
                  θ
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\+\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
  

或

  
    
      
        
          x
          ′
        
        =
        x
        cos
        ⁡
        θ
        −
        y
        sin
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta \,}
  

  
    
      
        
          y
          ′
        
        =
        x
        sin
        ⁡
        θ
        +
        y
        cos
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta \,}
  

平面或轴关于原点的逆时针旋转，在新平面中的坐标将顺时针旋转到旧坐标。在这种情况下，如果在旧平面中的坐标是
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
，同一个向量在新平面中的坐标是
  
    
      
        (
        
          x
          ′
        
        ,
        
          y
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x',y')}
  
，则：

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
               


## 坐标
坐標（coordinates）是用來描述或標示某點在空間中絕對位置的有序數組。
坐标轴（coordinate axis）是在某 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  
 维空间中的一组参数化路径，其操作型定义为：固定其他所有坐标变数，只让其中一个变数改变时，点在空间中移动所形成的轨迹，就是该变数的坐标轴。坐标轴不必然为直线，且不需要遍布全空间；两坐标轴的夹角可以是任意非零角度。
坐標系（coordinate system）是一特定的位置註記系統（參考系），用以確定某點或某目標的空間位置；其定義為：对于一个 n 维系统，能够使每一个点（目標）和一组 n 个标量（有序數組）构成一一对应的系统。坐标轴是组成坐标系的基本元素。
坐标图（coordinate graph）或坐标图形（coordinate graphic），是一个映射机制，它通过一组作为参照基准的坐标轴，将空间中的点与数值序列（坐标）建立起一对一的对应关系。


通则
若有序數組只是一個數的坐標系，就稱一維坐標系；若有序數組為 n 個獨立數的坐標系，就稱 n 維坐標系。一般表示 n 維空間的某點，需使用有 n 個數的數組；而同一點的坐標，會因所使用之坐標系的不同而有差異。
坐標系可以用一個有序多元组表示一個點的位置。一般常用的坐標系，各維坐標的數字均為實數，但在高等數學中坐標的數字可能是複數，甚至是或是其他抽象代數中的元素（如交换环）。坐標系可以使幾何學的問題轉換為數字的問題，反之亦然，是解析幾何學的基礎。
在地理學中，描述地理位置時所用的經度及緯度構成一種地理坐标系。在天文學中，描繪天體在天球上位置的多種坐標系統是天球坐標系。在物理學中，描述一系統在空間中運動的參考坐標系統則稱作參考系。


常用的坐標系


數線

數線是最簡單的坐標系，用一個實數標示一個點在線上的位置。數線中會有一個原點O，以及單位長度及其方向。點P的坐標為從O到P的有號距離，坐標是正值或負值則依P點在原點的哪一側來決定。數線上每一個點都有唯一的坐標，每一個實數也都可以在數線上找到唯一的對應點。


笛卡兒坐標系

笛卡兒坐標系也稱為直角坐標系，是最常用到的一種坐標系。是法國數學家勒內·笛卡尔在1637年發表的《方法論》附錄中提到的。
在平面上，選定二條互相垂直的線為坐標軸，任一點距坐標軸的有號距離為另一軸的坐標，這就是二維的笛卡兒坐標系，一般會選一條指向右方水平線稱為x軸，再選一條指向上方的垂直線稱為y軸，此兩坐標軸設定方式稱為「右手坐標系」。

若在三維系統中，選定三條互相垂直的平面，任一點距平面的有號距離為坐標，二平面的交線為坐標軸，即可產生三維的笛卡兒坐標系。一般會選擇x軸及y軸是水平的，z軸垂直往上，且三軸維持右手定則，若先將右手的手掌與手指伸直。然後，將中指指向往手掌的掌面 半空間，與食指呈直角關係。再將大拇指往上指去，與中指，食指都呈直角關係。則大拇指，食指，與中指分別表示了右手坐標系的 x-軸，y-軸，與 z-軸。此概念可以延伸，在n維的欧几里得空间中建立n維的笛卡兒坐標系。
以笛卡兒平面坐標系為基準，右上為第一象限，左上為第二，左下為第三，右下就是第四象限，第一象限的x坐標和y坐標均為正值，第二象限的x坐標為負值，y坐標為正值，第三象限的x坐標和y坐標均為負值，第四象限的x坐標為正值，y坐標為負值，而平面坐標分六大部分，除了四個象限，還有x軸與y軸。在笛卡兒空間坐標系中也可以依xy平面，xz平面及yz平面將不含上述平面空間分為八份，稱為卦限，但一般只定義坐標均大於零的為第一卦限。坐標中的各軸線不屬於象限或卦限。


極坐標系

極坐標系也是一種常用的平面坐標系統。格雷瓜·德·聖-萬桑特（Grégoire de Saint-Vincent）在1625年和博納文圖拉·卡瓦列里在1635年，独立地各自引入了极坐标系这一概念。極坐標中會定一點為極點，再將一條通過極點的射線定為極軸。若給定一角度
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
，則可繪出通過極點，和極軸夾角為
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
的唯一射線（角度是以從極軸，依逆時針方向旋轉到射線），若再給定一實數
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
，可找出上述射線上，距極點距離為有號整數
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
的一點。
在極坐標系中，一坐標
  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\theta )}
  
只會其對應唯一的一點，但每一點均可對應許多個坐標。例如坐標
  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\theta )}
  
、
  
    
      
        (
        r
        ,
        θ
        +
        2
        π
        )
      
    
    {\displaystyle (r,\theta +2\pi )}
  
及
  
    
      
        (
        −
        r
        ,
        θ
        +
        π
        )
      
    
    {\displaystyle (-r,\theta +\pi )}
  
都是對應同一點的不同坐標。而極點的坐標為
  
    
      
        (
        0
        ,
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\theta )}
  
，
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
可為任意值。 
极坐标
  
    
      
        r
        
      
    
    {\displaystyle r\,}
  
和
  
    
      
        θ
        
      
    
    {\displaystyle \theta \,}
  
可以用下式變換為直角坐标：

  
    
      
        r


## 直角坐标系
本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 
  
    
      
        
          r
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
  
 表示；而其大小則用 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
  
 來表示。

笛卡兒坐標系（法語：système de coordonnées cartésiennes；英語：Cartesian coordinate system），也稱直角坐標系（英語：rectangular coordinate system），在數學中是一種正交坐標系，由法國數學家勒內·笛卡兒引入而得名。該坐標系所在的平面稱為直角坐標平面（英語：rectangular coordinate plane）或笛卡兒平面（英語：Cartesian plane）。二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、相交於原點的數線構成的。在平面內，任何一點的坐標是根據數軸上對應的點的坐標設定的。在平面內，任何一點與坐標的對應關係，類似於數軸上點與坐標的對應關係。
採用直角坐標，幾何形狀可以用代數公式明確地表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這個代數公式。例如：直線可以用標準式（一般式）
  
    
      
        a
        x
        +
        b
        y
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax+by+c=0}
  
、斜截式
  
    
      
        y
        =
        m
        x
        +
        k
      
    
    {\displaystyle y=mx+k}
  
等式子來表示；以点
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  
为圆心，
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  
为半径的圓可以用
  
    
      
        (
        x
        −
        a
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        −
        b
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
  
表示。


歷史
法国数学家、哲学家勒内·笛卡兒于1637年在《几何》（La Géométrie）中发表了关于笛卡兒坐标系的研究。皮埃尔·德·费马也独立地发明了这种坐标系，包括三维坐标系，但没有发表。早在笛卡兒和费马的时代近300年之前，法国主教尼克尔·奥里斯姆就使用了和笛卡兒坐标系类似的构造。
笛卡兒和费马的坐标系中都仅含一根坐标轴。在1649年弗兰斯·范斯霍滕及其学生将《几何》译成拉丁文时，为阐释其中的一些想法而引入了一些概念，包括第二根坐标轴。
笛卡兒坐标系支撑了艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨发明的微积分。后人把用二维坐标描述平面的方法扩展成了向量空间的概念。
在笛卡兒坐标系之后，人们又创造了更多的坐标系，如平面的极坐标系，以及三维空间的球坐标系和圆柱坐标系。


描述


二維坐標系統

二維的直角坐標系通常由兩個互相垂直的坐標軸設定，通常分別稱為x-軸和 y-軸；兩個坐標軸的相交點，稱為原點，通常標記為O，既有「零」的意思，又是法语「Origine」的首字母。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的坐標軸，決定了一個平面，稱為xy-平面，又稱為笛卡兒平面。通常兩個坐標軸只要互相垂直，其指向何方對於分析問題是没有影響的，但習慣性地，x-軸被水平擺放，稱為橫軸，通常指向右方；y-軸被豎直擺放而稱為縱軸，通常指向上方。兩個坐標軸這樣的位置關係，稱為二維的右手坐標系，或右手系。如果把這個右手系畫在一張透明紙片上，則在平面內無論怎樣旋轉它，所得到的都叫做右手系；但如果把紙片翻轉，其背面看到的坐標系則稱為「左手系」。這和照鏡子時左右對調的性質有關。
為了要知道坐標軸的任何一點，離原點的距離。假設，我們可以刻畫數值於坐標軸。那麼，從原點開始，往坐標軸所指的方向，每隔一個單位長度，就刻畫數值於坐標軸。這數值是刻畫的次數，也是離原點的正值整數距離；同樣地，背著坐標軸所指的方向，我們也可以刻畫出離原點的負值整數距離。稱x-軸刻畫的數值為x-坐標，又稱横坐標，稱y-軸刻畫的數值為y-坐標，又稱縱坐標。雖然，在這裏，這兩個坐標都是整數，對應於坐標軸特定的點。按照比例，我們可以推廣至實數坐標和其所對應的坐標軸的每一個點。這兩個坐標就是直角坐標系的直角坐標，標記為
  
    
      
        (
        x
        ,
         
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,\ y)}
  
。
任何一個點
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
在平面的位置，可以用直角坐標來獨特表達。只要從點
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
畫一條垂直於x-軸的直線。從這條直線與x-軸的相交點，可以找到點
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
的x-坐標。同樣地，可以找到點
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
的y-坐標。這樣，我們可以得到點
  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
  
的直角坐標。


三維坐標系統

直角坐標系也可以推廣至三維空間與高維空間（higher dimens


## 象限

設定
x軸和y軸，或者，實數軸和虛數軸，數值均為正數的象限為「第一象限」。
「第一象限」的x軸為 0° 或 0 rad ，採用純數字的角度或弧度作度大小。（後者多過前者。）
由「第一象限」的 0° 或 0 rad 作逆時針轉動，為正增加角度度數。
一圈之內，共有四個象限，或 360° ，或 2π rad 。


三角學應用

當一個三角形的鄰邊、對邊和斜邊比例和象限位置改變時，最常用的三角函數數值：正弦、餘弦和正切，也會有不同的正負值。

第一象限的 A 即是 All （全部皆正）。
第二象限的 S 即是 Sine （只有正弦為正）。
第三象限的 T 即是 Tangent （只有正切為正）。
第四象限的 C 即是 Cosine （只有餘弦為正）。


參考文獻


參阅
卦限
方位角
座標系統


外部連結

埃里克·韦斯坦因. Quadrant. MathWorld. 
Quadrant at PlanetMath.